integral1^4 integral1^e ln xx y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . Esse tipo de problema faz parte do cálculo integral, especificamente das integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e utilizar as propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a ordem da integração. Temos que integrar em relação a de 1 a , e depois em relação a de 1 a 4. Como a função pode ser separada em e , vamos aproveitar essa separação para simplificar a integração.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é . Para resolver isso, podemos fazer uma substituição. Seja , então . A integral torna-se , que é .

Passo 4

Substituindo de volta, temos (ln x)^22 |1^e = (ln e)^22 - (ln 1)^22 , então a integral fica 1^22 - 0^22 = 12 . Agora, avaliamos de a :
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, voltamos à integral externa em relação a . A expressão que temos é . A integral de em relação a é .

Passo 6

Avaliamos a integral de ln y |1^4 = ln 4 - ln 1 a ln 4 :
Sabemos que , então:

Resposta

Multiplicando pela constante 12 ln 4 , a integral dupla é igual a . Portanto, a resposta final é:

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