Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . Esse tipo de problema faz parte do cálculo integral, especificamente das integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e utilizar as propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a ordem da integração. Temos que integrar em relação a de 1 a , e depois em relação a de 1 a 4. Como a função pode ser separada em e , vamos aproveitar essa separação para simplificar a integração.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é . Para resolver isso, podemos fazer uma substituição. Seja , então . A integral torna-se , que é .
Passo 4
Substituindo de volta, temos , então a integral fica . Agora, avaliamos de a :
Sabemos que e , então:
Passo 5
Agora, voltamos à integral externa em relação a . A expressão que temos é . A integral de em relação a é .
Passo 6
Avaliamos a integral de ln y |1^4 = ln 4 - ln 1 a ln 4 :
Sabemos que , então:
Resposta
Multiplicando pela constante 12 ln 4 , a integral dupla é igual a . Portanto, a resposta final é: