Encontre a solução geral pelo método da variação dos parâmetros (MVP):
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Esse método é útil para encontrar a solução geral de equações diferenciais não homogêneas. Para isso, primeiro precisamos resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular que se ajusta ao lado não homogêneo .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, encontramos a equação característica:
Resolvendo para :
Então, as soluções da equação homogênea são funções exponenciais:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea usando o método da variação dos parâmetros. Nesse método, assumimos que os coeficientes e da solução homogênea não são constantes, mas sim funções de . Então, escrevemos:
onde e são funções que vamos determinar.
Passo 4
Para encontrar e , precisamos derivar e substituí-lo na equação original. Primeiro, calculamos as derivadas:
Mas para simplificar, impomos a condição de que:
Essa condição é padrão no método da variação dos parâmetros e ajuda a reduzir as derivadas, facilitando a resolução.
Passo 5
Substituindo e suas derivadas na equação original , temos:
Após substituir e simplificar, obtemos um sistema de equações para e :
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações, podemos usar o método de Cramer ou simplesmente isolar uma das variáveis. Calculando o Wronskiano das soluções homogêneas:
Agora, aplicamos as fórmulas da variação dos parâmetros:
Passo 7
Agora, integramos e para encontrar e :
Como estamos buscando uma solução particular, podemos desprezar as constantes de integração.
Passo 8
Substituindo e na expressão de :
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada: