Considere os polinômios e em . Verifique se pode ser escrito como uma combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos três polinômios no espaço e queremos descobrir se o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e . Para isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como igualar os coeficientes dos polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar constantes e tais que:
Substituindo os polinômios, temos:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os constantes e nos polinômios:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Vamos igualar os coeficientes de cada potência de :
Termo constante (sem ):
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Passo 5
Resolvendo as equações que encontramos:
De , temos .
De novamente, confirma que .
De , temos .
Resposta
Sim, o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear de e . Especificamente: