Considere os polinômios e em . Verifique se pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos três polinômios no espaço e queremos descobrir se o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e . Para isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como igualar os coeficientes dos polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar constantes e tais que:
Substituindo os polinômios, temos:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os constantes e nos polinômios:

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Vamos igualar os coeficientes de cada potência de :
  • Termo constante (sem ):
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :

Passo 5

Resolvendo as equações que encontramos:
  • De , temos .
  • De novamente, confirma que .
  • De , temos .

Resposta

Sim, o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear de e . Especificamente:

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