Considere os polinômios
e
em
. Verifique se
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos três polinômios no espaço
e queremos descobrir se o polinômio
pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios
e
. Para isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como igualar os coeficientes dos polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Substituindo os polinômios, temos:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os constantes
e
nos polinômios:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Vamos igualar os coeficientes de cada potência de
:
-
Termo constante (sem
): -
Coeficiente de
: -
Coeficiente de
:
Passo 5
Resolvendo as equações que encontramos:
- De
, temos . - De
novamente, confirma que . - De
, temos .
Resposta
Sim, o polinômio
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
. Especificamente: