Considere os polinômios p1(x)=1+x, p2(x)=x^2 e p3(x)=1+x+x^2 em P2(R). Verifique se p3(x) pode ser escrito como uma combinação linear de p1(x) e p2(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos três polinômios no espaço e queremos descobrir se o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e . Para isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como igualar os coeficientes dos polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar constantes p3(x) = a cdot p1(x) + b cdot p2(x) e 1 + x + x^2 = a cdot (1 + x) + b cdot x^2 tais que:
Substituindo os polinômios, temos:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os constantes 1 + x + x^2 = a + a x + b x^2 e nos polinômios:

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo 1 = a , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Vamos igualar os coeficientes de cada potência de 1 = a :
  • Termo constante (sem 1 = b ):
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :

Passo 5

Resolvendo as equações que encontramos:
  • De , temos .
  • De novamente, confirma que .
  • De , temos .

Resposta

Sim, o polinômio p3(x) = 1 cdot p1(x) + 1 cdot p2(x) pode ser escrito como uma combinação linear de e . Especificamente:

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