Determine uma base e a dimensão, para o seguinte subespaço de :
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para determinar uma base e a dimensão de um subespaço de matrizes 2x2 com números reais. Especificamente, o subespaço S é formado por todas as matrizes da forma:
onde e . Isso significa que vamos focar nas matrizes onde apenas os elementos e podem variar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base de um subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que conseguem gerar todo o subespaço. No nosso caso, estamos lidando com matrizes, então queremos encontrar matrizes que são linearmente independentes e que podem ser combinadas linearmente para formar qualquer matriz em S.
Passo 3
Vamos descrever as matrizes no subespaço S. Como e , qualquer matriz em S tem a forma:
Aqui, e podem ser qualquer número real. Portanto, podemos expressar essa matriz como uma combinação linear de duas matrizes básicas:
Passo 4
As matrizes:
são nossos vetores base. Elas são linearmente independentes porque nenhuma delas pode ser escrita como múltiplo da outra, e qualquer matriz em S pode ser obtida combinando essas duas matrizes com os coeficientes e .
Passo 5
Agora, para determinar a dimensão do subespaço S, contamos quantas matrizes estão na base. Temos duas matrizes na base, então a dimensão de S é 2.