Determine uma base e a dimensão, para o seguinte subespaço de :

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para determinar uma base e a dimensão de um subespaço de matrizes 2x2 com números reais. Especificamente, o subespaço S é formado por todas as matrizes da forma:
onde e . Isso significa que vamos focar nas matrizes onde apenas os elementos e podem variar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base de um subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que conseguem gerar todo o subespaço. No nosso caso, estamos lidando com matrizes, então queremos encontrar matrizes que são linearmente independentes e que podem ser combinadas linearmente para formar qualquer matriz em S.

Passo 3

Vamos descrever as matrizes no subespaço S. Como e , qualquer matriz em S tem a forma:
Aqui, e podem ser qualquer número real. Portanto, podemos expressar essa matriz como uma combinação linear de duas matrizes básicas:

Passo 4

As matrizes:
são nossos vetores base. Elas são linearmente independentes porque nenhuma delas pode ser escrita como múltiplo da outra, e qualquer matriz em S pode ser obtida combinando essas duas matrizes com os coeficientes e .

Passo 5

Agora, para determinar a dimensão do subespaço S, contamos quantas matrizes estão na base. Temos duas matrizes na base, então a dimensão de S é 2.

Resposta

Uma base para S é formada pelas matrizes
e a dimensão de S é 2.

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Considere os polinômios e em . Verifique se pode ser escrito como uma combinação linear de e .
(Determinar se cada matriz abaixo indicada é invertível; em caso afirmativo, calcular sua inversa.)
Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Mostre que, para quaisquer :
(a) .
Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Mostre que, para quaisquer :
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