(Determinar se cada matriz abaixo indicada é invertível; em caso afirmativo, calcular sua inversa.)
20.2 A=[lll0 & 1 & 2 1 & 1 & 2 0 & 2 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a matriz 0 & 1 & 2 1 & 1 & 2 0 & 2 & 3 é invertível. Se for, a gente também vai calcular a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes e matrizes inversas. Vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, prosseguimos para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos diz se a matriz é invertível: se o determinante for zero, a matriz não tem inversa; se for diferente de zero, ela é invertível.

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz det(A) = a11 cdot deta22 & a23 a32 & a33 - a12 cdot deta21 & a23 a31 & a33 + a13 cdot deta21 & a22 a31 & a32 , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores aqui:
det(A) = 0 cdot det1 & 2 2 & 3 - 1 cdot det1 & 2 0 & 3 + 2 cdot det1 & 1 0 & 2
Vamos substituir os valores da matriz :

Passo 4

Agora, vamos calcular os determinantes dos menores det1 & 2 2 & 3 = (1)(3) - (2)(2) = 3 - 4 = -1 :
det1 & 2 0 & 3 = (1)(3) - (2)(0) = 3 - 0 = 3
det1 & 1 0 & 2 = (1)(2) - (1)(0) = 2 - 0 = 2

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do determinante:
det(A) = 0 cdot (-1) - 1 cdot 3 + 2 cdot 2 = 0 - 3 + 4 = 1

Passo 6

Como o determinante é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível. Agora, vamos calcular a inversa dela.

Passo 7

Para encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , usamos a fórmula:
Como , a inversa será igual à adjunta da matriz.

Passo 8

A adjunta C11 = det1 & 2 2 & 3 = -1 é a matriz transposta dos cofatores de C12 = -det1 & 2 0 & 3 = -3 . Vamos calcular os cofatores de cada elemento de C13 = det1 & 1 0 & 2 = 2 :
Para C21 = -det1 & 2 2 & 3 = 1 :
C22 = det0 & 2 0 & 3 = 0
Para C23 = -det0 & 1 0 & 2 = 0 :
C31 = det1 & 2 1 & 2 = 0
Para C32 = -det0 & 2 1 & 2 = -(-2) = 2 :
C33 = det0 & 1 1 & 1 = -1
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 9

Agora, formamos a matriz de cofatores:
Cof(A) = -1 & -3 & 2 1 & 0 & 0 0 & 2 & -1
Depois, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjunta:
adj(A) = Cof(A)^T = -1 & 1 & 0 -3 & 0 & 2 2 & 0 & -1

Resposta

A matriz A^-1 = -1 & 1 & 0 -3 & 0 & 2 2 & 0 & -1 é invertível e sua inversa é:

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