(Determinar se cada matriz abaixo indicada é invertível; em caso afirmativo, calcular sua inversa.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a matriz é invertível. Se for, a gente também vai calcular a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes e matrizes inversas. Vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, prosseguimos para encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos diz se a matriz é invertível: se o determinante for zero, a matriz não tem inversa; se for diferente de zero, ela é invertível.
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores aqui:
Vamos substituir os valores da matriz :
Passo 4
Agora, vamos calcular os determinantes dos menores :
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão do determinante:
Passo 6
Como o determinante é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível. Agora, vamos calcular a inversa dela.
Passo 7
Para encontrar a inversa de , usamos a fórmula:
Como , a inversa será igual à adjunta da matriz.
Passo 8
A adjunta é a matriz transposta dos cofatores de . Vamos calcular os cofatores de cada elemento de :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 9
Agora, formamos a matriz de cofatores:
Depois, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjunta: