(Determinar se cada matriz abaixo indicada é invertível; em caso afirmativo, calcular sua inversa.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a matriz é invertível. Se for, a gente também vai calcular a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes e matrizes inversas. Vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, prosseguimos para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos diz se a matriz é invertível: se o determinante for zero, a matriz não tem inversa; se for diferente de zero, ela é invertível.

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores aqui:
Vamos substituir os valores da matriz :

Passo 4

Agora, vamos calcular os determinantes dos menores :

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do determinante:

Passo 6

Como o determinante é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível. Agora, vamos calcular a inversa dela.

Passo 7

Para encontrar a inversa de , usamos a fórmula:
Como , a inversa será igual à adjunta da matriz.

Passo 8

A adjunta é a matriz transposta dos cofatores de . Vamos calcular os cofatores de cada elemento de :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 9

Agora, formamos a matriz de cofatores:
Depois, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjunta:

Resposta

A matriz é invertível e sua inversa é:

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