Seja V um espaço vetorial sobre R, com produto interno. Mostre que, para quaisquer u, v in V :
(a) lang<= u, vrang<==14(|u+v|^2-|u-w|^2).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial lang<= u, v rang<= = 14(|u + v|^2 - |u - v|^2) sobre os números reais que possui um produto interno. O exercício quer que a gente mostre que, para quaisquer vetores e em , a seguinte igualdade vale:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto interno e norma de vetores, além de algumas propriedades básicas desses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno entre dois vetores |u|^2 = lang<= u, u rang<= e é denotado por e a norma de um vetor é , que é igual a .
Sabemos que a norma ao quadrado de um vetor pode ser expressa em termos do produto interno:

Passo 3

Agora, vamos expandir as expressões |u + v|^2 = lang<= u + v, u + v rang<= e |u - v|^2 = lang<= u - v, u - v rang<= usando a definição da norma:

Passo 4

Vamos desenvolver essas expressões usando as propriedades do produto interno:
lang<= u + v, u + v rang<= = lang<= u, u rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=
lang<= u - v, u - v rang<= = lang<= u, u rang<= - lang<= u, v rang<= - lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=
Como o produto interno é simétrico, ou seja, lang<= u + v, u + v rang<= = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2 , podemos simplificar:
lang<= u - v, u - v rang<= = |u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2

Passo 5

Agora, vamos subtrair a segunda expressão da primeira:
|u + v|^2 - |u - v|^2 = (|u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2) - (|u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2)
Simplificando:
|u + v|^2 - |u - v|^2 = 4lang<= u, v rang<=

Passo 6

Finalmente, isolamos lang<= u, v rang<= = 14(|u + v|^2 - |u - v|^2) :

Resposta

Portanto, mostramos que:
lang<= u, v rang<= = 14(|u + v|^2 - |u - v|^2)

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