Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Mostre que, para quaisquer
:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
sobre os números reais
que possui um produto interno. O exercício quer que a gente mostre que, para quaisquer vetores
e
em
, a seguinte igualdade vale:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto interno e norma de vetores, além de algumas propriedades básicas desses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto interno entre dois vetores
e
é denotado por
e a norma de um vetor
é
, que é igual a
.
Sabemos que a norma ao quadrado de um vetor pode ser expressa em termos do produto interno:
Passo 3
Agora, vamos expandir as expressões
e
usando a definição da norma:
Passo 4
Vamos desenvolver essas expressões usando as propriedades do produto interno:
Como o produto interno é simétrico, ou seja,
, podemos simplificar:
Passo 5
Agora, vamos subtrair a segunda expressão da primeira:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, isolamos
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Determine uma base e a dimensão, para o seguinte subespaço de
:
Considere os polinômios
e
em
. Verifique se
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Mostre que, para quaisquer
:
© .
©
Sejam os elementos
e
de
. Encontre o elemento
tal que
e
.