Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Mostre que, para quaisquer :
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial sobre os números reais que possui um produto interno. O exercício quer que a gente mostre que, para quaisquer vetores e em , a seguinte igualdade vale:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto interno e norma de vetores, além de algumas propriedades básicas desses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno entre dois vetores e é denotado por e a norma de um vetor é , que é igual a .
Sabemos que a norma ao quadrado de um vetor pode ser expressa em termos do produto interno:

Passo 3

Agora, vamos expandir as expressões e usando a definição da norma:

Passo 4

Vamos desenvolver essas expressões usando as propriedades do produto interno:
Como o produto interno é simétrico, ou seja, , podemos simplificar:

Passo 5

Agora, vamos subtrair a segunda expressão da primeira:
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, isolamos :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Determine uma base e a dimensão, para o seguinte subespaço de :
Considere os polinômios e em . Verifique se pode ser escrito como uma combinação linear de e .
Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Mostre que, para quaisquer :
© .
Sejam os elementos e de . Encontre o elemento tal que e .