Considere os polinômios e . Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois polinômios:
A gente precisa calcular . Isso significa que vamos dividir o polinômio pelo polinômio . Para isso, vamos usar a divisão de polinômios, que é parecido com a divisão que a gente faz com números.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os polinômios em ordem decrescente dos graus dos termos (onde o grau é o expoente de ). Já estão organizados, mas é bom sempre verificar:
  • (grau 3)
  • (grau 4)
Como o grau de é maior que o de , a divisão vai resultar em um quociente e um resto.

Passo 3

Vamos começar a divisão. O primeiro passo é ver quantas vezes o termo de maior grau de cabe no termo de maior grau de .
O termo de maior grau de é e o de é .
Para saber quantas vezes cabe em , dividimos os coeficientes e subtraímos os expoentes:
Esse será o primeiro termo do nosso quociente.

Passo 4

Agora, multiplicamos esse termo do quociente pelo polinômio :

Passo 5

Subtraímos esse resultado do polinômio :
Lembre-se que subtrair um número negativo é o mesmo que adicionar:

Passo 6

Agora, vamos simplificar os termos semelhantes:
  • Não há outros termos de , então fica
  • O termo constante fica
Então, o polinômio que sobra é:

Passo 7

Agora, repetimos o processo com esse novo polinômio. Primeiro, vemos quantas vezes o termo de maior grau de cabe no termo de maior grau que sobrou.
O termo de maior grau que sobrou é e o de continua .
Esse é o próximo termo do nosso quociente.

Passo 8

Multiplicamos esse termo pelo polinômio :

Passo 9

Subtraímos esse resultado do polinômio que sobrou:

Passo 10

Simplificamos novamente:
Então, o polinômio que sobra agora é:

Passo 11

Como o grau desse polinômio ( ) é menor que o grau de ( ), não conseguimos mais continuar a divisão. Portanto, esse polinômio é o resto.

Passo 12

Agora, juntamos tudo que fizemos para escrever o resultado final da divisão:

Resposta

A divisão de por resulta em:

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Divida o polinômio pelo polinômio nos seguintes casos. e
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