Considere os polinômios p1(t)=t^2-2 t+5, p2(t)=2 t^2-3 t e p3(t)=t+3. Determine se é possível escrever p3 como combinação linear de p1 e p2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e . Isso faz parte da álgebra linear, onde combinamos vetores (ou, nesse caso, polinômios) usando coeficientes para ver se conseguimos chegar em outro vetor/polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar números a cdot p1(t) + b cdot p2(t) = p3(t) e a(t^2 - 2t + 5) + b(2t^2 - 3t) = t + 3 tais que:
Substituindo os polinômios:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes a t^2 - 2a t + 5a + 2b t^2 - 3b t = t + 3 e (a + 2b)t^2 + (-2a - 3b)t + 5a = t + 3 :
Em seguida, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo a + 2b = 0 & (coeficiente de t^2) -2a - 3b = 1 & (coeficiente de t) 5a = 3 & (termo constante) , os coeficientes dos termos com o mesmo grau devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. A partir da terceira equação:
5a = 3 Rightarrow a = 35
Agora, substituímos 35 + 2b = 0 Rightarrow 2b = -35 Rightarrow b = -310 na primeira equação:

Passo 6

Vamos verificar se esses valores de -2(35) - 3(-310) = -65 + 910 = -1210 + 910 = -310 neq 1 e satisfazem a segunda equação:
Como a equação não foi satisfeita, isso significa que não existe combinação linear de e que resulte em .

Resposta

Não, não é possível escrever como combinação linear de e .

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