Considere os polinômios e . Determine se é possível escrever como combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e . Isso faz parte da álgebra linear, onde combinamos vetores (ou, nesse caso, polinômios) usando coeficientes para ver se conseguimos chegar em outro vetor/polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar números e tais que:
Substituindo os polinômios:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes e :
Em seguida, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos com o mesmo grau devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. A partir da terceira equação:
5a = 3 Rightarrow a = 35
Agora, substituímos 35 + 2b = 0 Rightarrow 2b = -35 Rightarrow b = -310 na primeira equação:
Passo 6
Vamos verificar se esses valores de -2(35) - 3(-310) = -65 + 910 = -1210 + 910 = -310 neq 1 e satisfazem a segunda equação:
Como a equação não foi satisfeita, isso significa que não existe combinação linear de e que resulte em .
Resposta
Não, não é possível escrever como combinação linear de e .