Considere os vetores x=(1,-3,2), y=(2,-4,-1) e z=(1,-5,7) em R^3. Determine se é possível escrever z como combinação linear de x e y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o vetor z = (1, -5, 7) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores x = (1, -3, 2) e y = (2, -4, -1) no espaço tridimensional R^3. Isso significa que queremos encontrar números a e b tais que:
z = a cdot x + b cdot y
Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações lineares e ver se conseguimos encontrar valores para a e b que façam essa igualdade funcionar.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação z = a cdot x + b cdot y de forma componentizada. Isso quer dizer que a gente vai igualar cada componente dos vetores:
1 = a cdot 1 + b cdot 2 -5 = a cdot (-3) + b cdot (-4) 7 = a cdot 2 + b cdot (-1)
Simplificando, fica:
1 = a + 2b -5 = -3a - 4b 7 = 2a - b
Agora, temos um sistema com três equações e duas incógnitas ( a e b).

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Como temos mais equações do que incógnitas, precisamos verificar se todas elas são consistentes, ou seja, se elas não entram em conflito.
Primeiro, pegamos as duas primeiras equações:
1 = a + 2b (1) -5 = -3a - 4b (2)
Vamos resolver a equação (1) para a:
a = 1 - 2b
Agora, substituímos esse valor na equação (2):
-5 = -3(1 - 2b) - 4b -5 = -3 + 6b - 4b -5 = -3 + 2b -5 + 3 = 2b -2 = 2b b = -1
Agora que temos b = -1, substituímos de volta na equação (1) para encontrar a:
a = 1 - 2(-1) a = 1 + 2 a = 3

Passo 4

Agora que encontramos a = 3 e b = -1, vamos verificar se esses valores também satisfazem a terceira equação do sistema:
7 = 2a - b 7 = 2(3) - (-1) 7 = 6 + 1 7 = 7
Como a igualdade é verdadeira, todas as três equações são consistentes com a = 3 e b = -1.

Resposta

Sim, é possível escrever z como uma combinação linear de x e y, sendo a = 3 e b = -1. Ou seja:
z = 3 cdot x - 1 cdot y

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