Considere os vetores e em . Determine se é possível escrever como combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pergunta se é possível escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e no espaço . Isso entra no tema de combinação linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar coeficientes (vamos chamar de e ) tais que:
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. Queremos achar e que, multiplicados pelos vetores e respectivamente, e depois somados, resultem no vetor . Escrever isso de forma mais detalhada:
Passo 3
Vamos distribuir os coeficientes e nos vetores:
Que simplifica para:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Primeiro, da primeira equação, podemos expressar a = 2 - b em função de -3(2 - b) - 5b = -4 :
-6 + 3b - 5b = -4 -6 - 2b = -4
Agora, vamos substituir isso na segunda equação:
-2b = 2 b = -1
Simplificando:
Adicionando 6 em ambos os lados:
Passo 6
Agora que temos a = 2 - (-1) a = 3 , vamos substituir na expressão que encontramos para :
Passo 7
Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação do sistema:
2a + 7b = 2(3) + 7(-1) = 6 - 7 = -1
O resultado da substituição confere com o lado direito da equação, que é . Portanto, nossos valores de e estão corretos.
Resposta
Sim, é possível escrever y = 3 cdot x - 1 cdot z como uma combinação linear de e . Os coeficientes são e , ou seja: