Considere os vetores x=(1,-3,2), y=(2,-4,-1) e z=(1,-5,7) em R^3. Determine se é possível escrever y como combinação linear de x e z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pergunta se é possível escrever o vetor y = a cdot x + b cdot z como uma combinação linear dos vetores e no espaço . Isso entra no tema de combinação linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar coeficientes (vamos chamar de e ) tais que:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. Queremos achar (2, -4, -1) = a cdot (1, -3, 2) + b cdot (1, -5, 7) e que, multiplicados pelos vetores e respectivamente, e depois somados, resultem no vetor . Escrever isso de forma mais detalhada:

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes (2, -4, -1) = (a cdot 1 + b cdot 1, a cdot (-3) + b cdot (-5), a cdot 2 + b cdot 7) e (2, -4, -1) = (a + b, -3a - 5b, 2a + 7b) nos vetores:
Que simplifica para:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações para resolver:
a + b = 2 -3a - 5b = -4 2a + 7b = -1
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, da primeira equação, podemos expressar a = 2 - b em função de -3(2 - b) - 5b = -4 :
-6 + 3b - 5b = -4 -6 - 2b = -4
Agora, vamos substituir isso na segunda equação:
-2b = 2 b = -1
Simplificando:
Adicionando 6 em ambos os lados:

Passo 6

Agora que temos a = 2 - (-1) a = 3 , vamos substituir na expressão que encontramos para :

Passo 7

Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação do sistema:
2a + 7b = 2(3) + 7(-1) = 6 - 7 = -1
O resultado da substituição confere com o lado direito da equação, que é . Portanto, nossos valores de e estão corretos.

Resposta

Sim, é possível escrever y = 3 cdot x - 1 cdot z como uma combinação linear de e . Os coeficientes são e , ou seja:

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