Dado um espaço vetorial real V, suponha que os vetores x, y, z in V são ell i. Determine se os vetores u=x+y, v=x-y e w=x-2 y+z são ell d. ou ell i.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um espaço vetorial real e três vetores que são linearmente independentes (significado de ). Nosso objetivo é determinar se os vetores , e são linearmente dependentes ( ) ou linearmente independentes ( ). Para isso, vamos precisar entender o conceito de combinação linear e a definição de independência linear.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Vários vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se implica que , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Aplicando isso aos nossos vetores alpha u + beta v + gamma w = 0 , queremos ver se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor zero, além da trivial onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, queremos encontrar escalares alpha (x + y) + beta (x - y) + gamma (x - 2y + z) = 0 tais que:
Substituindo pelas suas expressões em termos de :

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes:
alpha x + alpha y + beta x - beta y + gamma x - 2gamma y + gamma z = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(alpha + beta + gamma) x + (alpha - beta - 2gamma) y + gamma z = 0

Passo 5

Como alpha + beta + gamma = 0 alpha - beta - 2gamma = 0 gamma = 0 são vetores linearmente independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da terceira equação, temos .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. E na segunda equação: .

Passo 7

Agora, temos:
alpha + beta = 0 alpha - beta = 0
Somando as duas equações:
2alpha = 0 implies alpha = 0
Substituindo 0 + beta = 0 implies beta = 0 na primeira equação:

Passo 8

Encontramos que , e . Isso significa que a única solução para a combinação linear que resulta em zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes ( ).

Exercícios relacionados

Considere os polinômios p1(t)=t^2-2 t+5, p2(t)=2 t^2-3 t e p3(t)=t+3. Determine se é possível escrever p3 como combinação linear de p1 e p2.
Considere os vetores x=(1,-3,2), y=(2,-4,-1) e z=(1,-5,7) em R^3. Determine se é possível escrever y como combinação linear de x e z.
Considere os vetores x=(1,-3,2), y=(2,-4,-1) e z=(1,-5,7) em R^3. Determine se é possível escrever z como combinação linear de x e y.
Dados os polinômios p(t)=1-t^2, q(t)=1+t^3, r(t)=t-t^3 e s(t)=1+t+t^2+t^3, determine as combinações lineares 5 p+q-4 r e p+9 q-4 s. O que pode afirmar sobre o conjunto p, q, r, s com base nesses cálculos?