Dado um espaço vetorial real , suponha que os vetores são . Determine se os vetores e são . ou .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um espaço vetorial real e três vetores que são linearmente independentes (significado de ). Nosso objetivo é determinar se os vetores , e são linearmente dependentes () ou linearmente independentes (). Para isso, vamos precisar entender o conceito de combinação linear e a definição de independência linear.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Vários vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se implica que , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Aplicando isso aos nossos vetores , queremos ver se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor zero, além da trivial onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Substituindo pelas suas expressões em termos de :
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Como são vetores linearmente independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da terceira equação, temos .
Substituindo na primeira equação: .
E na segunda equação: .
Passo 7
Agora, temos:
alpha + beta = 0 alpha - beta = 0
Somando as duas equações:
2alpha = 0 implies alpha = 0
Substituindo 0 + beta = 0 implies beta = 0 na primeira equação:
Passo 8
Encontramos que , e . Isso significa que a única solução para a combinação linear que resulta em zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero.