Dado um espaço vetorial real V, suponha que os vetores x, y, z in V são ell i. Determine se os vetores u=x-y, v=y-z e w=z-x são ell d. ou ell i.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial real onde os vetores são linearmente independentes (l.i.). Precisamos descobrir se os vetores , e são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.). Para isso, vamos usar conhecimentos de combinação linear e independência vetorial.

Passo 2

Para verificar se os vetores a cdot u + b cdot v + c cdot w = 0 são linearmente dependentes ou independentes, vamos ver se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulte no vetor zero. Isso significa encontrar escalares tais que:

Passo 3

Substituindo a cdot (x - y) + b cdot (y - z) + c cdot (z - x) = 0 nas equações, temos:
a cdot x - a cdot y + b cdot y - b cdot z + c cdot z - c cdot x = 0
Distribuindo os coeficientes:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a - c) cdot x + (-a + b) cdot y + (-b + c) cdot z = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira, os coeficientes de devem ser iguais a zero, já que são vetores linearmente independentes.

Passo 5

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a - c = 0 -a + b = 0 -b + c = 0
Resolvendo o sistema:
a = c b = a c = b
Portanto, .

Passo 6

Como os coeficientes 1 cdot u + 1 cdot v + 1 cdot w = 0 são todos iguais, podemos escolher um valor diferente de zero para eles (por exemplo, ), e ainda assim a combinação linear dará zero:
Isso mostra que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes (l.d.).

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