Considere os polinômios p1(t)=t^2-2 t+5, p2(t)=2 t^2-3 t e p3(t)=t+3. Determine se os polinômios p1, p2 e p3 formam um conjunto ell.d. ou ell.i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta três polinômios: , e . A gente precisa descobrir se esses polinômios são linearmente dependentes ( ) ou linearmente independentes ( ). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente análise de combinações lineares e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Caso contrário, são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos montar a combinação linear dos três polinômios igualando a zero:
a cdot p1(t) + b cdot p2(t) + c cdot p3(t) = 0
Substituindo os polinômios:
a(t^2 - 2t + 5) + b(2t^2 - 3t) + c(t + 3) = 0

Passo 4

Vamos expandir essa expressão:
a t^2 - 2a t + 5a + 2b t^2 - 3b t + c t + 3c = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + 2b) t^2 + (-2a - 3b + c) t + (5a + 3c) = 0

Passo 5

Para que essa expressão seja igual a zero para todo valor de a + 2b = 0 -2a - 3b + c = 0 5a + 3c = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos:
a = -2b
Substituindo -2(-2b) - 3b + c = 0 na segunda equação:
4b - 3b + c = 0
b + c = 0
Então, .

Passo 7

Agora, substituímos 5(-2b) + 3(-b) = 0 e -10b - 3b = 0 na terceira equação:
-13b = 0
Portanto, . Consequentemente, e .

Passo 8

Como a única solução para o sistema é , isso significa que a única combinação linear que resulta no zero é a trivial. Portanto, os polinômios são linearmente independentes.

Resposta

Os polinômios e formam um conjunto linearmente independente ( ).

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