Considere os polinômios e . Determine se os polinômios e formam um conjunto .d. ou .i.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta três polinômios: , e . A gente precisa descobrir se esses polinômios são linearmente dependentes () ou linearmente independentes (). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente análise de combinações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Caso contrário, são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos montar a combinação linear dos três polinômios igualando a zero:
Substituindo os polinômios:
Passo 4
Vamos expandir essa expressão:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa expressão seja igual a zero para todo valor de , os coeficientes de cada potência de devem ser zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos:
a = -2b
Substituindo -2(-2b) - 3b + c = 0 na segunda equação:
4b - 3b + c = 0
b + c = 0
Então, .
Passo 7
Agora, substituímos 5(-2b) + 3(-b) = 0 e -10b - 3b = 0 na terceira equação:
-13b = 0
Portanto, . Consequentemente, e .
Passo 8
Como a única solução para o sistema é , isso significa que a única combinação linear que resulta no zero é a trivial. Portanto, os polinômios são linearmente independentes.
Resposta
Os polinômios e formam um conjunto linearmente independente ().