Dado um espaço vetorial real , suponha que os vetores são . Determine se os vetores e são .d. ou .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um espaço vetorial real e três vetores nesse espaço: , e . A informação importante é que esses vetores são linearmente independentes (representado por ). Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Agora, queremos verificar se os vetores , e também são linearmente independentes () ou linearmente dependentes ().
Passo 2
Para determinar se os vetores , e são linearmente independentes ou dependentes, vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se a única solução é que todos os coeficientes são zero.
Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Substituindo , e , temos:
Passo 3
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Como , e são linearmente independentes, a única maneira dessa combinação ser igual a zero é se cada coeficiente for zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
A última equação nos dá .
Substituindo na segunda equação: ⇒ .
Substituindo e na primeira equação: ⇒ .
Passo 6
Encontramos que a única solução é , e . Isso significa que a única combinação linear que dá zero é a trivial, ou seja, os vetores , e são linearmente independentes.