Dado um espaço vetorial real V, suponha que os vetores x, y, z in V são ell i. Determine se os vetores u=x, v=x+y e w=x+y+z são ell.d. ou ell i.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um espaço vetorial real e três vetores nesse espaço: , e . A informação importante é que esses vetores são linearmente independentes (representado por ). Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Agora, queremos verificar se os vetores , e também são linearmente independentes ( ) ou linearmente dependentes ( ).

Passo 2

Para determinar se os vetores a cdot u + b cdot v + c cdot w = 0 , a cdot x + b cdot (x + y) + c cdot (x + y + z) = 0 e são linearmente independentes ou dependentes, vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se a única solução é que todos os coeficientes são zero.
Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Substituindo , e , temos:

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes:
a x + b x + b y + c x + c y + c z = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + b + c) x + (b + c) y + c z = 0

Passo 4

Como a + b + c = 0 b + c = 0 c = 0 , e são linearmente independentes, a única maneira dessa combinação ser igual a zero é se cada coeficiente for zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. A última equação nos dá .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na primeira equação: .

Passo 6

Encontramos que a única solução é , e . Isso significa que a única combinação linear que dá zero é a trivial, ou seja, os vetores , e são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes ( ).

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