Considere os vetores x=(1,-3,2), y=(2,-4,-1) e z=(1,-5,7) em R^3. Determine se é possível escrever x como combinação linear de y e z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e no espaço tridimensional . Isso envolve entender o que é combinação linear e como resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que fazem essa combinação funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é combinação linear. Dizemos que x = alpha y + beta z é uma combinação linear de (1, -3, 2) = alpha (2, -4, -1) + beta (1, -5, 7) e se existeem números (coeficientes) e tais que:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos expandir essa equação componente por componente:
1 = 2alpha + 1beta -3 = -4alpha -5beta 2 = -1alpha + 7beta
Então, temos um sistema de três equações com duas incógnitas.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Começamos pela primeira equação para expressar 1 = 2alpha + beta Rightarrow 2alpha = 1 - beta Rightarrow alpha = 1 - beta2 em função de :

Passo 5

Agora, substituímos -3 = -4(1 - beta2) -5beta -3 = -2(1 - beta) -5beta -3 = -2 + 2beta -5beta -3 = -2 -3beta Rightarrow -3 + 2 = -3beta -1 = -3beta Rightarrow beta = 13 na segunda equação:

Passo 6

Com alpha = 1 - 132 = 232 = 23 times 12 = 13 , vamos encontrar usando a expressão que obtivemos no Passo 4:

Passo 7

Por fim, vamos verificar se esses valores de 2 = -(13) + 7(13) 2 = -13 + 73 2 = 63 2 = 2 e satisfazem a terceira equação:
Como a equação é verdadeira, os valores encontrados estão corretos.

Resposta

Sim, é possível escrever como uma combinação linear de e com e .

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