Considere os vetores x=(1,-3,2), y=(2,-4,-1) e z=(1,-5,7) em R^3. Determine se os vetores x, y e z formam um conjunto ell d. ou ell i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores no espaço tridimensional R^3: x = (1, -3, 2), y = (2, -4, -1) e z = (1, -5, 7). A questão é descobrir se esses vetores formam um conjunto linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.). Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna. Ficaria assim:
A = 1 & 2 & 1 -3 & -4 & -5 2 & -1 & 7

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a verificar se os vetores são independentes ou não. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, são linearmente dependentes.
Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 1 times -4 & -5 -1 & 7 - 2 times -3 & -5 2 & 7 + 1 times -3 & -4 2 & -1
Calculando cada menor:
-4 & -5 -1 & 7 = (-4)(7) - (-5)(-1) = -28 - 5 = -33
-3 & -5 2 & 7 = (-3)(7) - (-5)(2) = -21 + 10 = -11
-3 & -4 2 & -1 = (-3)(-1) - (-4)(2) = 3 + 8 = 11
Agora, substituindo de volta:
det(A) = 1 times (-33) - 2 times (-11) + 1 times 11 = -33 + 22 + 11 = 0

Resposta

Como det(A) = 0, os vetores x, y e z formam um conjunto linearmente dependente (L.D.).

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