Considere os polinômios p1(t)=t^2-2 t+5, p2(t)=2 t^2-3 t e p3(t)=t+3. Determine se é possível escrever p2 como combinação linear de p1 e p3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três polinômios: , e . A pergunta é: será que dá para escrever como uma combinação linear de e ? Isso está dentro do conteúdo de Combinação Linear da Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar encontrar constantes que, quando multiplicadas por e e somadas, resultem em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Basicamente, uma combinação linear de e é uma expressão da forma , onde e são números reais que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos montar a equação:
a cdot p1(t) + b cdot p3(t) = p2(t)
Substituindo os polinômios:
a(t^2 - 2t + 5) + b(t + 3) = 2t^2 - 3t

Passo 4

Agora, vamos distribuir os coeficientes a t^2 - 2a t + 5a + b t + 3b = 2t^2 - 3t e :

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes:
(a) t^2 + (-2a + b) t + (5a + 3b) = 2t^2 - 3t + 0
Note que não há termo constante no , então consideramos 0.

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos dos dois lados da equação:
a = 2 -2a + b = -3 5a + 3b = 0

Passo 7

Vamos começar resolvendo a primeira equação:
a = 2

Passo 8

Substituímos -2(2) + b = -3 -4 + b = -3 b = -3 + 4 b = 1 na segunda equação:

Passo 9

Agora, substituímos 5(2) + 3(1) = 10 + 3 = 13 neq 0 e na terceira equação para verificar:
Isso mostra uma inconsistência, já que 13 não é igual a 0.

Passo 10

Como não conseguimos encontrar valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente, concluímos que não é possível escrever como uma combinação linear de e .

Resposta

Não, não é possível escrever como combinação linear de e .

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