Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
W=x in R^3 mid 3 x1-5 x2+2 x3=0

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um conjunto W = x in R^3 mid 3x1 - 5x2 + 2x3 = 0 definido por:
Queremos mostrar que é um espaço vetorial real sob as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para isso, precisamos verificar se satisfaz os axiomas de um espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, presença do vetor zero, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence a 3(0) - 5(0) + 2(0) = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na equação:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, vamos verificar o fechamento sob a adição. Seja 3u1 - 5u2 + 2u3 = 0 e 3v1 - 5v2 + 2v3 = 0 dois vetores em 3(u1 + v1) - 5(u2 + v2) + 2(u3 + v3) = (3u1 - 5u2 + 2u3) + (3v1 - 5v2 + 2v3)) = 0 + 0 = 0 . Isso significa que:
Queremos mostrar que também está em . Calculando:
Assim, pertence a .

Passo 4

Em seguida, vamos verificar o fechamento sob a multiplicação por escalar. Seja 3(cu1) - 5(cu2) + 2(cu3) = c(3u1 - 5u2 + 2u3) = c cdot 0 = 0 um vetor em e um número real. Queremos mostrar que também está em . Calculando:
Portanto, pertence a .

Passo 5

Além disso, precisamos verificar os demais axiomas dos espaços vetoriais, como a existência de inversos aditivos, a associatividade e a distributividade das operações. Contudo, como é definido por uma equação linear homogênea, esses axiomas já são satisfeitos automaticamente pelas operações usuais de .

Resposta

Portanto, concluímos que o conjunto é de fato um espaço vetorial real sob as operações usuais.

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