Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um conjunto
definido por:
Queremos mostrar que
é um espaço vetorial real sob as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para isso, precisamos verificar se
satisfaz os axiomas de um espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, presença do vetor zero, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence a
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos verificar o fechamento sob a adição. Seja
e
dois vetores em
. Isso significa que:
Queremos mostrar que
também está em
. Calculando:
Assim,
pertence a
.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar o fechamento sob a multiplicação por escalar. Seja
um vetor em
e
um número real. Queremos mostrar que
também está em
. Calculando:
Portanto,
pertence a
.
Passo 5
Além disso, precisamos verificar os demais axiomas dos espaços vetoriais, como a existência de inversos aditivos, a associatividade e a distributividade das operações. Contudo, como
é definido por uma equação linear homogênea, esses axiomas já são satisfeitos automaticamente pelas operações usuais de
.
Resposta
Portanto, concluímos que o conjunto
é de fato um espaço vetorial real sob as operações usuais.
Exercícios relacionados
Dado um espaço vetorial real
, suponha que os vetores
são
. Determine se os vetores
são
. ou
.
Considere os polinômios
e
. Determine se é possível escrever
como combinação linear de
e
.
Determine quais das seguintes ternas são vetores em
.
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.