Dado um espaço vetorial real , suponha que os vetores são . Determine se os vetores são . ou .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial real e três vetores que são linearmente independentes (isso significa que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros). A pergunta quer saber se os vetores , e também são linearmente independentes ou linearmente dependentes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a equação é . Se existir alguma combinação não trivial (onde pelo menos um dos coeficientes não é zero) que resulta no vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso aos vetores . Queremos saber se existe uma combinação não trivial . Substituindo os valores de :
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Como sabemos que são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que os coeficientes de cada vetor sejam zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações: