Dado um espaço vetorial real V, suponha que os vetores x, y, z in V são ell i. Determine se os vetores u=x+y, v=y+z e w=z+x são ell d. ou ell i.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial real e três vetores que são linearmente independentes (isso significa que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros). A pergunta quer saber se os vetores , e também são linearmente independentes ou linearmente dependentes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a equação é . Se existir alguma combinação não trivial (onde pelo menos um dos coeficientes não é zero) que resulta no vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos vetores alpha (x + y) + beta (y + z) + gamma (z + x) = 0 . Queremos saber se existe uma combinação não trivial alpha x + alpha y + beta y + beta z + gamma z + gamma x = 0 . Substituindo os valores de (alpha + gamma) x + (alpha + beta) y + (beta + gamma) z = 0 :
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 4

Como sabemos que alpha + gamma = 0 alpha + beta = 0 beta + gamma = 0 são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que os coeficientes de cada vetor sejam zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Agora, substituindo e na terceira equação: .
Então, , e consequentemente, e .

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes.

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z=(-raiz35, raiz35, raiz35)