Considere os polinômios
se
se
.
Mostre que existe pelo menos uma raiz para cada um dos polinômios no intervalo dado.
Mostre que existe pelo menos uma raiz para cada um dos polinômios no intervalo dado.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre polinômios e encontrar raízes em intervalos específicos. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a mostrar que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o polinômio
no intervalo
. Podemos simplificar
:
Passo 3
Agora, vamos calcular
nos extremos do intervalo:
Para
:
Para
:
Passo 4
Observe que
e
. A função mudou de negativa para positiva nesse intervalo.
Passo 5
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos um ponto onde a função é igual a zero nesse intervalo. Como
mudou de negativo para positivo entre
e
, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos analisar o polinômio
no intervalo
.
Passo 7
Calculamos
nos extremos do intervalo:
Para
:
Para
:
Passo 8
Vemos que
e
. A função passou de negativa para positiva nesse intervalo.
Passo 9
Aplicando novamente o Teorema do Valor Intermediário, como
mudou de negativo para positivo entre
e
, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Resposta
Portanto, existe pelo menos uma raiz para cada um dos polinômios nos respectivos intervalos dados.
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.
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, D é limitada por
e
, com
.
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