Considere os polinômios
p(x) = x^3 - 4x + x + 3 se x in [-3,-2] e q(x) = x^3 + x + 3 se x in [-2,-1].
Mostre que existe pelo menos uma raiz para cada um dos polinômios no intervalo dado.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre polinômios e encontrar raízes em intervalos específicos. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a mostrar que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o polinômio no intervalo . Podemos simplificar :

Passo 3

Agora, vamos calcular nos extremos do intervalo:
Para :
Para :

Passo 4

Observe que e . A função mudou de negativa para positiva nesse intervalo.

Passo 5

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos um ponto onde a função é igual a zero nesse intervalo. Como mudou de negativo para positivo entre e , existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos analisar o polinômio no intervalo .

Passo 7

Calculamos nos extremos do intervalo:
Para :
Para :

Passo 8

Vemos que e . A função passou de negativa para positiva nesse intervalo.

Passo 9

Aplicando novamente o Teorema do Valor Intermediário, como mudou de negativo para positivo entre e , existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Resposta

Portanto, existe pelo menos uma raiz para cada um dos polinômios nos respectivos intervalos dados.

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