Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o porquê.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se a função de onda
é aceitável no intervalo
. Vamos usar conceitos de funções de onda na mecânica quântica, focando em se a função é normalizável e se satisfaz as condições de contorno necessárias.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma função de onda aceitável deve ser normalizável. Isso significa que a integral do quadrado da função no intervalo dado deve ser igual a 1. Vamos calcular essa integral:
Passo 3
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica
. Aplicando isso, temos:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente:
-
-
(porque a integral de em um período completo é zero)
Então, a integral total é
.
Passo 5
Como a integral do quadrado da função é
, que não é igual a 1, a função não está normalizada. Para que seja uma função de onda aceitável, precisamos normalizá-la dividindo-a pela raiz de
:
Passo 6
Além da normalização, devemos verificar as condições de contorno. No intervalo
, a função
satisfaz as condições de contorno necessárias, já que
é contínua e periódica neste intervalo.
Resposta
A função de onda
não é originalmente aceitável porque sua integral do quadrado não é 1. Porém, ela pode ser normalizada dividindo-a por
, tornando-se
, o que a torna uma função de onda aceitável no intervalo
.
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(e)
(e)
Considere um ponto
, distante
do centro de um dipolo, e localizado sobre o eixo do dipolo. Demonstre que o campo elétrico produzido pelo dipolo nesse ponto
pode ser aproximado por
, onde Q é o módulo das cargas, d é a distância de separação das cargas,
e
são constantes.
Uma esfera não-condutora com
de raio possui uma densidade volumétrica uniforme de cargas de
. Determine o módulo do campo elétrico a
do centro da esfera.
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(g)
(g)