Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o porquê.
(f) F(x)=sen 4 x,-pi <= x <= pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se a função de onda é aceitável no intervalo . Vamos usar conceitos de funções de onda na mecânica quântica, focando em se a função é normalizável e se satisfaz as condições de contorno necessárias.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma função de onda aceitável deve ser normalizável. Isso significa que a integral do quadrado da função no intervalo dado deve ser igual a 1. Vamos calcular essa integral:
integral-pi^pi |sin 4x|^2 , dx = integral-pi^pi sin^2 4x , dx

Passo 3

Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica integral-pi^pi sin^2 4x , dx = integral-pi^pi 1 - cos 8x2 , dx = 12 integral-pi^pi 1 , dx - 12 integral-pi^pi cos 8x , dx . Aplicando isso, temos:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. (porque a integral de em um período completo é zero)
Então, a integral total é .

Passo 5

Como a integral do quadrado da função é Fnormalizada(x) = sin 4xraizpi , que não é igual a 1, a função não está normalizada. Para que seja uma função de onda aceitável, precisamos normalizá-la dividindo-a pela raiz de :

Passo 6

Além da normalização, devemos verificar as condições de contorno. No intervalo , a função satisfaz as condições de contorno necessárias, já que é contínua e periódica neste intervalo.

Resposta

A função de onda não é originalmente aceitável porque sua integral do quadrado não é 1. Porém, ela pode ser normalizada dividindo-a por , tornando-se , o que a torna uma função de onda aceitável no intervalo .

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