Dado o vetor
em coordenadas cilíndricas:
a - Converta
para suas componentes em coordenadas cartesianas.
a - Converta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor
nas coordenadas cilíndricas. Nosso objetivo aqui é converter esse vetor para as componentes nas coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender como as direções
e
se relacionam com as direções
e
no sistema cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as direções das coordenadas cilíndricas para as cartesianas. Nas coordenadas cilíndricas,
é a direção radial (apontando para fora do eixo
) e
é a direção angular (perpendicular a
). Em termos das coordenadas cartesianas, podemos expressar essas direções da seguinte forma:
Aqui,
é o ângulo que a projeção de
no plano
faz com o eixo
.
Passo 3
Agora, vamos substituir as expressões de
e
na expressão original do vetor
:
Substituindo:
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes 4 e 3 nas expressões:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
- Coeficientes de
: - Coeficientes de
: - Coeficiente de
:
Passo 5
Assim, podemos escrever o vetor
nas coordenadas cartesianas como:
Resposta
O vetor
em coordenadas cartesianas é:
Exercícios relacionados
Para um vetor
expresso em coordenadas polares, considere
e
. Resolva:
a - Calcule a magnitude do vetor .
a - Calcule a magnitude do vetor
Considere um vetor
cujas componentes no sistema de coordenadas original
são
e
. Esse sistema de coordenadas é rotacionado em um ângulo
para um novo sistema
. (a) Encontre as expressões para as novas componentes
e
função das componentes originais
e
e do ângulo
.
Considere um ponto
representado em coordenadas esféricas por
, onde
e
.
b - Calcule a distância de até a origem usando as coordenadas cartesianas obtidas.
b - Calcule a distância de
(b) Agora assuma que
e
e
. Obtenha a posição em função do tempo sabendo que a partícula estava inicialmente em
.