Dado o vetor A=4 rho+3 theta+2 k em coordenadas cilíndricas:
a - Converta A para suas componentes em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor A = 4,rho + 3,theta + 2,k nas coordenadas cilíndricas. Nosso objetivo aqui é converter esse vetor para as componentes nas coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender como as direções rho e theta se relacionam com as direções x e y no sistema cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as direções das coordenadas cilíndricas para as cartesianas. Nas coordenadas cilíndricas, rho é a direção radial (apontando para fora do eixo z) e theta é a direção angular (perpendicular a rho). Em termos das coordenadas cartesianas, podemos expressar essas direções da seguinte forma:
rho = cos(theta),x + sin(theta),y
theta = -sin(theta),x + cos(theta),y
Aqui, theta é o ângulo que a projeção de A no plano xy faz com o eixo x.

Passo 3

Agora, vamos substituir as expressões de rho e theta na expressão original do vetor A:
A = 4,rho + 3,theta + 2,k
Substituindo:
A = 4(cos(theta),x + sin(theta),y) + 3(-sin(theta),x + cos(theta),y) + 2,z

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes 4 e 3 nas expressões:
A = 4cos(theta),x + 4sin(theta),y - 3sin(theta),x + 3cos(theta),y + 2,z
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
  • Coeficientes de x: 4cos(theta) - 3sin(theta)
  • Coeficientes de y: 4sin(theta) + 3cos(theta)
  • Coeficiente de z: 2

Passo 5

Assim, podemos escrever o vetor A nas coordenadas cartesianas como:
A = (4cos(theta) - 3sin(theta)),x + (4sin(theta) + 3cos(theta)),y + 2,z

Resposta

O vetor A em coordenadas cartesianas é:
A = (4cos(theta) - 3sin(theta)),x + (4sin(theta) + 3cos(theta)),y + 2,z

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