Dado o vetor em coordenadas cilíndricas:
a - Converta para suas componentes em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor nas coordenadas cilíndricas. Nosso objetivo aqui é converter esse vetor para as componentes nas coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender como as direções e se relacionam com as direções e no sistema cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as direções das coordenadas cilíndricas para as cartesianas. Nas coordenadas cilíndricas, é a direção radial (apontando para fora do eixo ) e é a direção angular (perpendicular a ). Em termos das coordenadas cartesianas, podemos expressar essas direções da seguinte forma:
Aqui, é o ângulo que a projeção de no plano faz com o eixo .

Passo 3

Agora, vamos substituir as expressões de e na expressão original do vetor :
Substituindo:

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes 4 e 3 nas expressões:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
  • Coeficientes de :
  • Coeficientes de :
  • Coeficiente de :

Passo 5

Assim, podemos escrever o vetor nas coordenadas cartesianas como:

Resposta

O vetor em coordenadas cartesianas é:

Exercícios relacionados

Para um vetor expresso em coordenadas polares, considere e . Resolva:
a - Calcule a magnitude do vetor .
Considere um vetor cujas componentes no sistema de coordenadas original são e . Esse sistema de coordenadas é rotacionado em um ângulo para um novo sistema . (a) Encontre as expressões para as novas componentes e função das componentes originais e e do ângulo .
Considere um ponto representado em coordenadas esféricas por , onde e .
b - Calcule a distância de até a origem usando as coordenadas cartesianas obtidas.
(b) Agora assuma que e e . Obtenha a posição em função do tempo sabendo que a partícula estava inicialmente em .