Considere o ponto P=(1,2,1) e a reta r: x2=-y=z.
Calcule a distância de P a r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a distância do ponto até a reta definida pelas equações . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como representar a reta de forma paramétrica e aplicar a fórmula da distância utilizando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da reta x = 2t, y = -t, z = t em forma paramétrica. A equação significa que todas essas expressões são iguais a algum parâmetro, digamos . Então, podemos escrever:
Aqui, é o parâmetro que varia, e podemos ver que o vetor diretor da reta é . Além disso, um ponto qualquer na reta quando é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a distância entre o ponto Distância = |PQ times u||u| e a reta . Para isso, usamos a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço:
â
Onde:
  • é o vetor que vai de para ,
  • é o vetor diretor da reta,
  • representa o produto vetorial,
  • representa o módulo do vetor.

Passo 4

Vamos calcular o vetor PQ = P - Q = (1 - 0, 2 - 0, 1 - 0) = (1, 2, 1) :
PQ times u = i & j & k 1 & 2 & 1 2 & -1 & 1 = i(2 cdot 1 - 1 cdot (-1)) - j(1 cdot 1 - 1 cdot 2) + k(1 cdot (-1) - 2 cdot 2)
Em seguida, calculamos o produto vetorial = i(2 + 1) - j(1 - 2) + k(-1 - 4) :
= 3i + 1j - 5k = (3, 1, -5)

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial |PQ times u| = raiz3^2 + 1^2 + (-5)^2 = raiz9 + 1 + 25 = raiz35 :
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Também precisamos do módulo do vetor diretor :

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
Distância = |PQ times u||u| = raiz35raiz6 = raiz356 approx 2,42 , unidades â

Resposta

A distância do ponto até a reta é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados