Beleza, temos um operador linear definido em por . Nosso objetivo é encontrar a inversa desse operador, ou seja, descobrir como voltar de para . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes de operadores lineares e cálculo de inversas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Cada componente de corresponde a uma coluna da matriz. Assim, temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a matriz inversa de det(A) = 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) - (-2) cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) + 0 cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 1) = 1 cdot (-1) - (-2) cdot (-1) + 0 = -1 - 2 + 0 = -3 , chamada . A inversa de uma matriz existe se o determinante de for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como , a matriz inversa existe.
Passo 4
Para encontrar A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , vamos usar a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3:
Agora, a adjunta de é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, calculamos :
Passo 5
Agora que temos a matriz inversa T^-1(a, b, c) = A^-1 a b c = 13a + 0 cdot b + 23c -13a + 0 cdot b + 13c 0 cdot a + 1 cdot b + 0 cdot c = ( 13a + 23c, -13a + 13c, b ) , podemos definir o operador inverso . Se , então:
Resposta
A inversa de T^-1(a, b, c) = ( 13a + 23c, -13a + 13c, b ) é o operador definido por