Seja o operador linear T sobre R^3, definido por
T(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y)
responda:
Calcule a inversa de T

Passo 1

Beleza, temos um operador linear definido em por . Nosso objetivo é encontrar a inversa desse operador, ou seja, descobrir como voltar de para . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes de operadores lineares e cálculo de inversas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 como uma matriz. Cada componente de corresponde a uma coluna da matriz. Assim, temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a matriz inversa de det(A) = 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) - (-2) cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) + 0 cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 1) = 1 cdot (-1) - (-2) cdot (-1) + 0 = -1 - 2 + 0 = -3 , chamada . A inversa de uma matriz existe se o determinante de for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como , a matriz inversa existe.

Passo 4

Para encontrar A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , vamos usar a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3:
Cof(A) = (0 cdot 0 - 1 cdot 1) & -(0 cdot 0 - 1 cdot 1) & (0 cdot 1 - 0 cdot 1) -( -2 cdot 0 - 0 cdot 1) & (1 cdot 0 - 0 cdot 1) & -(1 cdot 1 - (-2) cdot 1) ( -2 cdot 1 - 0 cdot 1) & -(1 cdot 1 - 0 cdot 1) & (1 cdot 0 - (-2) cdot 0)
Primeiro, encontramos a matriz dos cofatores de Cof(A) = -1 & -(-1) & 0 0 & 0 & -(1 + 2) -2 & -1 & 0 = -1 & 1 & 0 0 & 0 & -3 -2 & -1 & 0 :
adj(A) = -1 & 0 & -2 1 & 0 & -1 0 & -3 & 0
Calculando cada cofator:
A^-1 = 1-3 cdot -1 & 0 & -2 1 & 0 & -1 0 & -3 & 0 = 13 & 0 & 23 -13 & 0 & 13 0 & 1 & 0
Agora, a adjunta de é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, calculamos :

Passo 5

Agora que temos a matriz inversa T^-1(a, b, c) = A^-1 a b c = 13a + 0 cdot b + 23c -13a + 0 cdot b + 13c 0 cdot a + 1 cdot b + 0 cdot c = ( 13a + 23c, -13a + 13c, b ) , podemos definir o operador inverso . Se , então:

Resposta

A inversa de T^-1(a, b, c) = ( 13a + 23c, -13a + 13c, b ) é o operador definido por

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