Considere o ponto e a reta .
Determine o ponto simétrico a em relação a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um ponto e uma reta dada pelas equações . O objetivo aqui é encontrar o ponto simétrico de em relação à reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre projeção de vetores e simetria em relação a uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a reta . As equações podem ser reescritas em forma paramétrica. Vamos introduzir um parâmetro que representa a posição ao longo da reta.
A partir de , temos .
Da igualdade , obtemos .
E de , já temos .
Então, as equações paramétricas da reta são:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um ponto qualquer na reta . Vamos escolher para facilitar os cálculos. Substituindo :
Então, um ponto na reta é .

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o vetor diretor da reta . Observando as equações paramétricas, vemos que conforme varia, o vetor diretor é .

Passo 5

Para encontrar o ponto simétrico de em relação a , precisamos encontrar a projeção do vetor sobre o vetor diretor , onde é o ponto na reta que encontramos anteriormente.
Primeiro, calculamos o vetor :

Passo 6

A fórmula para a projeção do vetor sobre o vetor é:
Aplicando isso para e :

Passo 7

Agora, encontramos o ponto na reta que é a projeção de sobre . Para isso, adicionamos a projeção ao ponto :

Passo 8

Finalmente, para encontrar o ponto simétrico de em relação a , usamos a propriedade de simetria em relação ao ponto :
Calculando cada coordenada:

Resposta

O ponto simétrico de em relação à reta é .

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