Considere o ponto e a reta .
Determine o ponto simétrico a em relação a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um ponto e uma reta dada pelas equações . O objetivo aqui é encontrar o ponto simétrico de em relação à reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre projeção de vetores e simetria em relação a uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a reta . As equações podem ser reescritas em forma paramétrica. Vamos introduzir um parâmetro que representa a posição ao longo da reta.
A partir de , temos .
Da igualdade , obtemos .
E de , já temos .
Então, as equações paramétricas da reta são:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um ponto qualquer na reta x = 2(0) = 0, y = -0 = 0, z = 0 . Vamos escolher para facilitar os cálculos. Substituindo :
Então, um ponto na reta é .
Passo 4
Em seguida, vamos determinar o vetor diretor da reta . Observando as equações paramétricas, vemos que conforme varia, o vetor diretor é .
Passo 5
Para encontrar o ponto simétrico de AP = P - A = lang<= 1 - 0, 2 - 0, 1 - 0 rang<= = lang<= 1, 2, 1 rang<= em relação a , precisamos encontrar a projeção do vetor sobre o vetor diretor , onde é o ponto na reta que encontramos anteriormente.
Primeiro, calculamos o vetor :
Passo 6
A fórmula para a projeção do vetor projv u = ( u cdot vv cdot v ) v sobre o vetor AP cdot d = (1)(2) + (2)(-1) + (1)(1) = 2 - 2 + 1 = 1 é:
d cdot d = (2)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6
Aplicando isso para projd AP = ( 16 ) lang<= 2, -1, 1 rang<= = lang<= 26, -16, 16 rang<= = lang<= 13, -16, 16 rang<= e :
Passo 7
Agora, encontramos o ponto Q = A + projd AP = (0, 0, 0) + (13, -16, 16) = (13, -16, 16) na reta que é a projeção de sobre . Para isso, adicionamos a projeção ao ponto :
Passo 8
Finalmente, para encontrar o ponto simétrico P' = 2Q - P de x' = 2(13) - 1 = 23 - 1 = -13 em relação a y' = 2(-16) - 2 = -13 - 2 = -73 , usamos a propriedade de simetria em relação ao ponto z' = 2(16) - 1 = 13 - 1 = -23 :