Sejam três vetores u, v e w não nulos. Se u perp w e v perp w, então u | v.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três vetores não nulos: u, v e w. Sabemos que u é perpendicular a w ( u perp w) e que v também é perpendicular a w ( v perp w). O que queremos mostrar é que, se essas condições forem verdadeiras, então u é paralelo a v ( u | v).
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre vetores perpendiculares e vetores paralelos. Precisaremos entender o que significa dois vetores serem perpendiculares e quando dois vetores são considerados paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são perpendiculares. Dois vetores a e b são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero:
a cdot b = 0
No nosso caso, temos que u perp w e v perp w. Isso significa que:
u cdot w = 0 e v cdot w = 0

Passo 3

Agora, queremos mostrar que u e v são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for um múltiplo escalar do outro, ou seja, existe um número real k tal que:
u = k v
ou
v = k u
Nossa meta é encontrar tal k que satisfaça essa relação.

Passo 4

Vamos assumir que u e v não são paralelos. Nesse caso, eles formam um plano. No entanto, ambos são perpendiculares ao mesmo vetor w. Isso implica que o vetor w é perpendicular a todos os vetores do plano formado por u e v.

Passo 5

Em um espaço bidimensional (como um plano), se dois vetores são perpendiculares ao mesmo vetor não-nulo, eles devem ser múltiplos um do outro, ou seja, são paralelos. Isso ocorre porque, em um plano, há apenas uma direção perpendicular a uma dada direção não-nula.

Passo 6

Portanto, concluímos que, se u perp w e v perp w, então u e v devem ser paralelos. Em outras palavras, u | v.

Resposta

Os vetores u e v são paralelos, ou seja, u | v.

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