Sejam três vetores e não nulos. Se e , então .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três vetores não nulos: , e . Sabemos que é perpendicular a ( ) e que também é perpendicular a ( ). O que queremos mostrar é que, se essas condições forem verdadeiras, então é paralelo a ( ).
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre vetores perpendiculares e vetores paralelos. Precisaremos entender o que significa dois vetores serem perpendiculares e quando dois vetores são considerados paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são perpendiculares. Dois vetores e são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero:
No nosso caso, temos que e . Isso significa que:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que e são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for um múltiplo escalar do outro, ou seja, existe um número real tal que:
ou
Nossa meta é encontrar tal que satisfaça essa relação.

Passo 4

Vamos assumir que e não são paralelos. Nesse caso, eles formam um plano. No entanto, ambos são perpendiculares ao mesmo vetor . Isso implica que o vetor é perpendicular a todos os vetores do plano formado por e .

Passo 5

Em um espaço bidimensional (como um plano), se dois vetores são perpendiculares ao mesmo vetor não-nulo, eles devem ser múltiplos um do outro, ou seja, são paralelos. Isso ocorre porque, em um plano, há apenas uma direção perpendicular a uma dada direção não-nula.

Passo 6

Portanto, concluímos que, se e , então e devem ser paralelos. Em outras palavras, .

Resposta

Os vetores e são paralelos, ou seja, .

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