Sejam três vetores
e
não nulos. Se
e
, então
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três vetores não nulos:
,
e
. Sabemos que
é perpendicular a
(
) e que
também é perpendicular a
(
). O que queremos mostrar é que, se essas condições forem verdadeiras, então
é paralelo a
(
).
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre vetores perpendiculares e vetores paralelos. Precisaremos entender o que significa dois vetores serem perpendiculares e quando dois vetores são considerados paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são perpendiculares. Dois vetores
e
são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero:
No nosso caso, temos que
e
. Isso significa que:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
e
são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for um múltiplo escalar do outro, ou seja, existe um número real
tal que:
ou
Nossa meta é encontrar tal
que satisfaça essa relação.
Passo 4
Vamos assumir que
e
não são paralelos. Nesse caso, eles formam um plano. No entanto, ambos são perpendiculares ao mesmo vetor
. Isso implica que o vetor
é perpendicular a todos os vetores do plano formado por
e
.
Passo 5
Em um espaço bidimensional (como um plano), se dois vetores são perpendiculares ao mesmo vetor não-nulo, eles devem ser múltiplos um do outro, ou seja, são paralelos. Isso ocorre porque, em um plano, há apenas uma direção perpendicular a uma dada direção não-nula.
Passo 6
Portanto, concluímos que, se
e
, então
e
devem ser paralelos. Em outras palavras,
.
Resposta
Os vetores
e
são paralelos, ou seja,
.