Sejam ABC um triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência de centro O , e um ponto M qualquer. Provar que
M A+M B+M C=3 M O

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um triângulo equilátero ABC que está inscrito em uma circunferência com centro O. Temos um ponto qualquer M no plano, e a gente precisa provar que a soma dos vetores MA, MB e MC é igual a três vezes o vetor MO. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades dos triângulos equiláteros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em um triângulo equilátero, o centro da circunferência circunscrita (O) também é o centro de gravidade do triângulo. Isso significa que se a gente somar as coordenadas dos vértices e dividir por 3, a gente chega ao ponto O. Em termos de vetores, isso se traduz na seguinte relação:
OA + OB + OC = 0

Passo 3

Agora, vamos expressar os vetores MA, MB e MC em termos de MO e OA, OB, OC. Sabemos que:
MA = MO + OA
MB = MO + OB
MC = MO + OC

Passo 4

Vamos somar esses três vetores:
MA + MB + MC = (MO + OA) + (MO + OB) + (MO + OC)
Simplificando, temos:
= 3MO + (OA + OB + OC)

Passo 5

Lembrando da relação que vimos no Passo 2, onde OA + OB + OC = 0, substituímos na equação:
= 3MO + 0
= 3MO

Resposta

Portanto, provamos que:
MA + MB + MC = 3MO

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