Sejam ABC um triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência de centro O , e um ponto qualquer. Provar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um triângulo equilátero ABC que está inscrito em uma circunferência com centro O. Temos um ponto qualquer M no plano, e a gente precisa provar que a soma dos vetores MA, MB e MC é igual a três vezes o vetor MO. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades dos triângulos equiláteros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em um triângulo equilátero, o centro da circunferência circunscrita (O) também é o centro de gravidade do triângulo. Isso significa que se a gente somar as coordenadas dos vértices e dividir por 3, a gente chega ao ponto O. Em termos de vetores, isso se traduz na seguinte relação:
OA + OB + OC = 0
Passo 3
Agora, vamos expressar os vetores MA, MB e MC em termos de MO e OA, OB, OC. Sabemos que:
MA = MO + OA
MB = MO + OB
MC = MO + OC
Passo 4
Vamos somar esses três vetores:
MA + MB + MC = (MO + OA) + (MO + OB) + (MO + OC)
Simplificando, temos:
= 3MO + (OA + OB + OC)
Passo 5
Lembrando da relação que vimos no Passo 2, onde OA + OB + OC = 0, substituímos na equação: