Escreva o vetor C N como combinação linear dos vetores A B e A C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever o vetor CN como uma combinação linear dos vetores AB e AC. Isso está relacionado ao estudo de vetores e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que significa combinar vetores e como expressar um vetor em termos de outros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores AB e AC significa que podemos escrever CN como:
CN = alpha cdot AB + beta cdot AC
Aqui, alpha e beta são escalares que precisamos determinar.

Passo 3

Para encontrar os valores de alpha e beta, precisamos de mais informações sobre a posição do ponto N em relação aos pontos A, B, e C. Supondo que N seja um ponto qualquer no plano formado por A, B, e C, podemos estabelecer um sistema de equações baseado nas coordenadas desses pontos.

Passo 4

Vamos supor que as coordenadas dos pontos sejam:
  • A(xA, yA)
  • B(xB, yB)
  • C(xC, yC)
  • N(xN, yN)
Então, os vetores são:
AB = (xB - xA, yB - yA)
AC = (xC - xA, yC - yA)
CN = (xN - xC, yN - yC)

Passo 5

Agora, substituímos esses vetores na equação da combinação linear:
(xN - xC, yN - yC) = alpha cdot (xB - xA, yB - yA) + beta cdot (xC - xA, yC - yA)
Isso resulta em um sistema de duas equações:
xN - xC = alpha (xB - xA) + beta (xC - xA) yN - yC = alpha (yB - yA) + beta (yC - yA)

Passo 6

Resolvemos esse sistema para encontrar alpha e beta. Isso pode ser feito por métodos de substituição ou eliminação. Uma vez que temos alpha e beta, podemos substituir de volta na combinação linear original para obter CN em termos de AB e AC.

Resposta

Portanto, o vetor CN pode ser expresso como:
CN = alpha cdot AB + beta cdot AC
onde alpha e beta são os coeficientes encontrados ao resolver o sistema de equações com base nas coordenadas dos pontos envolvidos.

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