Determine o ângulo entre os planos 2 x+3 y-z=1 e x-2 y+2 z=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir o ângulo entre dois planos dados pelas equações e . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre vetores normais aos planos e como calcular o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
Então, para o primeiro plano , o vetor normal é .
Para o segundo plano , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo cos theta = n1 cdot n2|n1| |n2| entre os dois planos, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Aqui, é o produto escalar dos vetores normais, e e são as magnitudes (ou módulos) desses vetores.

Passo 4

Vamos calcular cada parte dessa fórmula:
  1. Produto escalar n1 cdot n2 = (2)(1) + (3)(-2) + (-1)(2) = 2 - 6 - 2 = -6 :
|n1| = raiz2^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14 approx 3,7417
  1. Magnitude de |n2| = raiz1^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3 :
cos theta = -63,7417 times 3 approx -611,2251 approx -0,5345
  1. Magnitude de theta = arccos(-0,5345) approx 127,5° :
  1. Aplicando na fórmula:
  1. Encontrando o ângulo :

Resposta

O ângulo entre os planos é aproximadamente graus.

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