Determine o ângulo entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir o ângulo entre dois planos dados pelas equações
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre vetores normais aos planos e como calcular o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano.
Então, para o primeiro plano
, o vetor normal é
.
Para o segundo plano
, o vetor normal é
.
Passo 3
Agora, para encontrar o ângulo
entre os dois planos, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores normais, e
e
são as magnitudes (ou módulos) desses vetores.
Passo 4
Vamos calcular cada parte dessa fórmula:
- Produto escalar
:
- Magnitude de
:
- Magnitude de
:
- Aplicando na fórmula:
- Encontrando o ângulo
:
Resposta
O ângulo entre os planos é aproximadamente
graus.
Exercícios relacionados
Considere o ponto
e a reta
.
Determine a projeção ortogonal do ponto sobre a reta
.
Determine a projeção ortogonal do ponto
Obtenha uma equação reduzida e esboce o gráfico para cada um dos casos a seguir:
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos , centro em
, excentricidade
e eixo menor medindo 6 .
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos
Seja
a transformação linear definida por
. Responda às questões abaixo:
Determine supondo fixadas as bases em
sendo
e em
sendo a base
.
Determine
Verifique se os planos
e
são paralelos.