Determine o ângulo entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir o ângulo entre dois planos dados pelas equações e . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre vetores normais aos planos e como calcular o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
Então, para o primeiro plano , o vetor normal é .
Para o segundo plano , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo entre os dois planos, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Aqui, é o produto escalar dos vetores normais, e e são as magnitudes (ou módulos) desses vetores.

Passo 4

Vamos calcular cada parte dessa fórmula:
  1. Produto escalar :
  1. Magnitude de :
  1. Magnitude de :
  1. Aplicando na fórmula:
  1. Encontrando o ângulo :

Resposta

O ângulo entre os planos é aproximadamente graus.

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Obtenha uma equação reduzida e esboce o gráfico para cada um dos casos a seguir:
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos , centro em , excentricidade e eixo menor medindo 6 .
Seja a transformação linear definida por . Responda às questões abaixo:
Determine supondo fixadas as bases em sendo e em sendo a base .
Verifique se os planos e são paralelos.