Considere o ponto A=(1,2,-1) e a reta
r:l x+y-z=1 x+y+2 z=-2
Calcule a distância entre A e r.

Passo 1

Beleza! A gente tem um ponto x + y - z = 1 x + y + 2z = -2 e uma reta definida pelo sistema de equações:
O objetivo é calcular a distância entre o ponto e a reta . Para fazer isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente a fórmula de distância de um ponto a uma reta. Precisamos encontrar um vetor diretor da reta e um vetor que vai do ponto a qualquer ponto da reta .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma representação paramétrica da reta x + y - z = 1 (1) x + y + 2z = -2 (2) . Para isso, vamos resolver o sistema de equações dado:
(x + y + 2z) - (x + y - z) = -2 - 1 3z = -3 z = -1
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
x + y - (-1) = 1 x + y + 1 = 1 x + y = 0 y = -x
Com x = t y = -t z = -1 , substituímos na equação (1):
r(t) = (t, -t, -1)
Então, podemos expressar como parâmetro :
Portanto, a parametrização da reta é:

Passo 3

Agora, vamos identificar um ponto qualquer na reta P = (0, 0, -1) e um vetor diretor da reta. Escolhendo v = (1, -1, 0) :
O vetor direção da reta é dado pelos coeficientes de na parametrização:

Passo 4

Em seguida, precisamos do vetor que vai do ponto AP = P - A = (0 - 1, 0 - 2, -1 - (-1)) = (-1, -2, 0) para o ponto da reta :

Passo 5

A fórmula para a distância d = |AP times v||v| de um ponto a uma reta no espaço é:
Onde representa o produto vetorial e é o módulo do vetor.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial AP times v = i & j & k -1 & -2 & 0 1 & -1 & 0 = i( (-2)(0) - (0)(-1) ) - j( (-1)(0) - (0)(1) ) + k( (-1)(-1) - (-2)(1) ) :
= i(0 - 0) - j(0 - 0) + k(1 - (-2))
= k(3) = (0, 0, 3)
|AP times v| = raiz0^2 + 0^2 + 3^2 = 3
O módulo desse vetor é:

Passo 7

Agora, calculamos o módulo do vetor direção |v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 = raiz2 :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 3raiz2 = 3raiz22

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é unidades.

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