Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a)
, então
.
a)
Passo 1
Beleza, a gente vai analisar a afirmação: “Se
, então
.” Isso está relacionado ao estudo de matrizes, especificamente sobre determinantes e matrizes inversas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o determinante de uma matriz e como encontrar a matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante, denotado por
, é um número que nos dá informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Se
, então a matriz
é invertível.
Passo 3
Agora, sobre a matriz inversa. A matriz inversa de
, escrita como
, é a matriz que, quando multiplicada por
, resulta na matriz identidade. Ou seja,
, onde
é a matriz identidade.
Passo 4
A afirmação diz que se
, então
. Vamos verificar isso. Sabemos que se
, então
. Isso implica que
é uma matriz idempotente e que a própria matriz é sua inversa.
Passo 5
No entanto, o fato de
só garante que a matriz é invertível, mas não necessariamente que a inversa dela seja a própria matriz. Existem várias matrizes com determinante igual a 1 cujas inversas não são iguais a elas mesmas.
Passo 6
Por exemplo, considere a matriz identidade
. Temos
e
, o que satisfaz a afirmação. Mas também existe uma matriz como:
Aqui,
, mas
.
Resposta
Falso. Ter
não garante que
, já que existem matrizes com determinante 1 cuja inversa não é igual a elas mesmas.
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Considere o ponto
e a reta
Calcule a distância entre
e
.
Seja o subespaço vetorial
de
formado por todas as matrizes diagonais, e a transformação linear
cuja matriz em relação às respectivas bases canônicas
de
e
de
é
Obtenha
.
Considere o ponto
e a reta
Encontre a equação da reta
.
Considere o ponto
e a reta
Encontre a equação da reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta