Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a) Se det(A)=1, então A^-1=A.

Passo 1

Beleza, a gente vai analisar a afirmação: “Se det(A) = 1, então A^-1 = A.” Isso está relacionado ao estudo de matrizes, especificamente sobre determinantes e matrizes inversas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o determinante de uma matriz e como encontrar a matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante, denotado por det(A), é um número que nos dá informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Se det(A) neq 0, então a matriz A é invertível.

Passo 3

Agora, sobre a matriz inversa. A matriz inversa de A, escrita como A^-1, é a matriz que, quando multiplicada por A, resulta na matriz identidade. Ou seja, A cdot A^-1 = I, onde I é a matriz identidade.

Passo 4

A afirmação diz que se det(A) = 1, então A^-1 = A. Vamos verificar isso. Sabemos que se A^-1 = A, então A cdot A = I. Isso implica que A é uma matriz idempotente e que a própria matriz é sua inversa.

Passo 5

No entanto, o fato de det(A) = 1 só garante que a matriz é invertível, mas não necessariamente que a inversa dela seja a própria matriz. Existem várias matrizes com determinante igual a 1 cujas inversas não são iguais a elas mesmas.

Passo 6

Por exemplo, considere a matriz identidade I. Temos det(I) = 1 e I^-1 = I, o que satisfaz a afirmação. Mas também existe uma matriz como:
A = 2 & 0 0 & 12
Aqui, det(A) = 2 times 12 = 1, mas A^-1 = 12 & 0 0 & 2 neq A.

Resposta

Falso. Ter det(A) = 1 não garante que A^-1 = A, já que existem matrizes com determinante 1 cuja inversa não é igual a elas mesmas.

Exercícios relacionados

Considere o ponto A=(1,2,-1) e a reta
r:l x+y-z=1 x+y+2 z=-2
Calcule a distância entre A e r.
Seja o subespaço vetorial S de R^2 times 2 formado por todas as matrizes diagonais, e a transformação linear T: P2(R) S cuja matriz em relação às respectivas bases canônicas B de P2(R) e C de R^2 times 2 é
A=[rrr 1 & 3 & -1 2 & 0 & 5 ]
Obtenha T(a+b x+c x^2).
Considere o ponto A=(1,2,-1) e a reta
r:l x+y-z=1 x+y+2 z=-2
Encontre a equação da reta r.
Considere o ponto A=(1,2,-1) e a reta
r:l x+y-z=1 x+y+2 z=-2
Encontre a equação da reta s que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta r