Seja o subespaço vetorial de formado por todas as matrizes diagonais, e a transformação linear cuja matriz em relação às respectivas bases canônicas de e de é
Obtenha .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um subespaço de matrizes que são todas diagonais. A transformação linear vai de (polinômios de grau até 2) para . A matriz que representa essa transformação nas bases canônicas é:
Nosso objetivo é encontrar . Para isso, vamos seguir alguns passos usando conceitos de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a transformação linear funciona. Ela transforma um polinômio de grau até 2 em uma matriz diagonal . A matriz nos diz como isso acontece em termos das coordenadas das bases.
Passo 3
Representamos o polinômio como um vetor coluna com suas coordenadas em relação à base canônica de :
Passo 4
Para encontrar a imagem desse polinômio pela transformação A cdot a b c = 1 & 3 & -1 2 & 0 & 5 cdot a b c , multiplicamos a matriz por esse vetor:
Passo 5
Fazendo a multiplicação, temos:
$$ 1 cdot a + 3 cdot b + (-1) cdot c 2 cdot a + 0 cdot b + 5 cdot c = a + 3b - c 2a + 5c
$$
Passo 6
Agora, como T(a + b x + c x^2) = a + 3b - c & 0 0 & 2a + 5c deve ser uma matriz diagonal , colocamos esses resultados nas posições diagonais:
Resposta
A transformação T(a + b x + c x^2) = a + 3b - c & 0 0 & 2a + 5c resulta na matriz diagonal: