Seja o subespaço vetorial S de R^2 times 2 formado por todas as matrizes diagonais, e a transformação linear T: P2(R) S cuja matriz em relação às respectivas bases canônicas B de P2(R) e C de R^2 times 2 é
A=[rrr 1 & 3 & -1 2 & 0 & 5 ]
Obtenha T(a+b x+c x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um subespaço A = 1 & 3 & -1 2 & 0 & 5 de matrizes que são todas diagonais. A transformação linear vai de (polinômios de grau até 2) para . A matriz que representa essa transformação nas bases canônicas é:
Nosso objetivo é encontrar . Para isso, vamos seguir alguns passos usando conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a transformação linear funciona. Ela transforma um polinômio de grau até 2 em uma matriz diagonal . A matriz nos diz como isso acontece em termos das coordenadas das bases.

Passo 3

Representamos o polinômio a b c como um vetor coluna com suas coordenadas em relação à base canônica de :

Passo 4

Para encontrar a imagem desse polinômio pela transformação A cdot a b c = 1 & 3 & -1 2 & 0 & 5 cdot a b c , multiplicamos a matriz por esse vetor:

Passo 5

Fazendo a multiplicação, temos:

$$
1 cdot a + 3 cdot b + (-1) cdot c 2 cdot a + 0 cdot b + 5 cdot c = a + 3b - c 2a + 5c

$$

Passo 6

Agora, como T(a + b x + c x^2) = a + 3b - c & 0 0 & 2a + 5c deve ser uma matriz diagonal , colocamos esses resultados nas posições diagonais:

Resposta

A transformação T(a + b x + c x^2) = a + 3b - c & 0 0 & 2a + 5c resulta na matriz diagonal:

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