Considere o ponto A=(1,2,-1) e a reta
r:l x+y-z=1 x+y+2 z=-2
Encontre a equação da reta r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação da reta x + y - z = 1 x + y + 2z = -2 que é definida pelas equações dos planos:
Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço 3D, especificamente com a interseção de dois planos para determinar uma reta comum. Para resolver isso, vamos precisar encontrar um ponto que está em ambos os planos e um vetor diretor da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta . O vetor diretor pode ser encontrado calculando o produto vetorial entre os vetores normais dos dois planos.
Os vetores normais dos planos são:
  • Para o primeiro plano , o vetor normal é .
  • Para o segundo plano , o vetor normal é .
O produto vetorial nos dá o vetor diretor da reta .

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial:
n1 times n2 = i & j & k 1 & 1 & -1 1 & 1 & 2
= i(1 cdot 2 - (-1) cdot 1) - j(1 cdot 2 - (-1) cdot 1) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 1)
= i(2 + 1) - j(2 + 1) + k(1 - 1)
= 3i - 3j + 0k
= (3, -3, 0)
Então, o vetor diretor é . Podemos simplificar dividindo por 3, ficando .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um ponto que está na reta x + y - z = 1 (1) x + y + 2z = -2 (2) . Para isso, vamos resolver o sistema de equações dos planos.
Temos:
(x + y + 2z) - (x + y - z) = -2 - 1
Subtraindo a equação (1) da equação (2) para eliminar 3z = -3 Rightarrow z = -1 :
x + y - (-1) = 1 Rightarrow x + y + 1 = 1 Rightarrow x + y = 0
Agora, substituímos na equação (1):
Vamos escolher um valor para , por exemplo, . Então, .
Portanto, um ponto na reta é .

Passo 5

Com o ponto x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e o vetor diretor x = 1 + t y = -1 - t z = -1 + 0t Rightarrow z = -1 , podemos escrever a equação paramétrica da reta x = 1 + t y = -1 - t z = -1 .
As equações paramétricas são:
onde é o ponto e são as componentes do vetor diretor .
Substituindo:
Então, a equação paramétrica da reta é:
onde é o parâmetro.

Resposta

A equação da reta x = 1 + t y = -1 - t z = -1 é:
onde é um parâmetro real.

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