Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação da reta que é definida pelas equações dos planos:
Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço 3D, especificamente com a interseção de dois planos para determinar uma reta comum. Para resolver isso, vamos precisar encontrar um ponto que está em ambos os planos e um vetor diretor da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta . O vetor diretor pode ser encontrado calculando o produto vetorial entre os vetores normais dos dois planos.
Os vetores normais dos planos são:
Para o primeiro plano , o vetor normal é .
Para o segundo plano , o vetor normal é .
O produto vetorial nos dá o vetor diretor da reta .
Então, o vetor diretor é . Podemos simplificar dividindo por 3, ficando .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um ponto que está na reta x + y - z = 1 (1) x + y + 2z = -2 (2) . Para isso, vamos resolver o sistema de equações dos planos.
Temos:
(x + y + 2z) - (x + y - z) = -2 - 1
Subtraindo a equação (1) da equação (2) para eliminar 3z = -3 Rightarrow z = -1 :
x + y - (-1) = 1 Rightarrow x + y + 1 = 1 Rightarrow x + y = 0
Agora, substituímos na equação (1):
Vamos escolher um valor para , por exemplo, . Então, .
Portanto, um ponto na reta é .
Passo 5
Com o ponto x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e o vetor diretor x = 1 + t y = -1 - t z = -1 + 0t Rightarrow z = -1 , podemos escrever a equação paramétrica da reta x = 1 + t y = -1 - t z = -1 .
As equações paramétricas são:
onde é o ponto e são as componentes do vetor diretor .