Seja
um espaço vetorial de dimensão finita igual a
, e considere uma transformação linear
tal que
. Mostre que
é par.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá um espaço vetorial
de dimensão finita
e uma transformação linear
que satisfaz
. Nosso objetivo é mostrar que
é par. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, como imagem, núcleo e o Teorema da Dimensão (também conhecido como Teorema da Rank-Nullidade).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são imagem e núcleo de uma transformação linear:
- Imagem (
): É o conjunto de todos os vetores que você pode obter aplicando aos vetores de . - Núcleo (
): É o conjunto de todos os vetores de que são mapeados para o vetor zero por .
No nosso caso, a imagem de
é igual ao núcleo de
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema da Dimensão que nos diz:
Como
, podemos dizer que:
Vamos chamar essa dimensão de
. Então:
Passo 4
Viu só?
é igual a
, o que significa que
é múltiplo de 2. Portanto,
é um número par.
Resposta
Assim, mostramos que
é par.
Exercícios relacionados
Considere o ponto
e a reta
Encontre a equação da reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
Considere o ponto
e a reta
Encontre a equação da reta
.
Considere os pontos
e
Verifique se e
são colineares.
Verifique se
Considere os pontos
e
Caso eles não sejam colineares, determine a equação do plano que os contém.
Caso eles não sejam colineares, determine a equação do plano que os contém.