Seja V um espaço vetorial de dimensão finita igual a n, e considere uma transformação linear T: V V tal que Im(T)=N u(T). Mostre que n é par.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá um espaço vetorial de dimensão finita e uma transformação linear que satisfaz . Nosso objetivo é mostrar que é par. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, como imagem, núcleo e o Teorema da Dimensão (também conhecido como Teorema da Rank-Nullidade).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são imagem e núcleo de uma transformação linear:
  • Imagem ( ): É o conjunto de todos os vetores que você pode obter aplicando aos vetores de .
  • Núcleo ( ): É o conjunto de todos os vetores de que são mapeados para o vetor zero por .
No nosso caso, a imagem de é igual ao núcleo de .

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema da Dimensão que nos diz:
dim(V) = dim(Im(T)) + dim(Nu(T))
Como dim(Im(T)) = dim(Nu(T)) , podemos dizer que:
n = k + k = 2k
Vamos chamar essa dimensão de . Então:

Passo 4

Viu só? é igual a , o que significa que é múltiplo de 2. Portanto, é um número par.

Resposta

Assim, mostramos que é par.

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