Considere o ponto A=(1,2,-1) e a reta
r:l x+y-z=1 x+y+2 z=-2
Encontre a equação da reta s que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta r

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto x + y - z = 1 x + y + 2z = -2 e uma reta definida pelas equações:
Nosso objetivo é encontrar a equação da reta que passa por e é perpendicular à reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e perpendicularidade no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta (x + y + 2z) - (x + y - z) = -2 - 1 3z = -3 z = -1 . Como x + y - (-1) = 1 x + y + 1 = 1 x + y = 0 y = -x está definida por duas equações lineares, podemos resolver esse sistema para obter a direção.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
x = t, y = -t, z = -1
Agora, substituindo dr = 1 -1 0 na primeira equação:
Então, os pontos na reta podem ser representados por:
Isso nos dá o vetor direção de :

Passo 3

Para encontrar a reta dr cdot ds = 0 perpendicular a a b c e que passa por 1 cdot a + (-1) cdot b + 0 cdot c = 0 a - b = 0 a = b , precisamos que o vetor direção de , digamos , seja perpendicular a . Ou seja, o produto escalar entre eles deve ser zero:
Vamos chamar . Então:

Passo 4

Agora, precisamos garantir que a reta rs = 1 2 -1 + t a a c passe pelo ponto . Vamos escrever a equação paramétrica de :
Mas ainda precisamos determinar . Como não temos mais restrições, podemos escolher um valor para e resolver para usando outra condição de perpendicularidade, se houver.

Passo 5

Como não há mais condições, vamos escolher AP = 0 - 1 0 - 2 -1 - (-1) = -1 -2 0 para simplificar. Então, ds cdot AP = 0 (-1)a + (-2)b + 0c = 0 - a - 2b = 0 . Agora, precisamos que - a - 2a = -3a = 0 a = 0 também seja perpendicular a qualquer vetor que pertença à reta . Vamos considerar o vetor que conecta a um ponto qualquer de .
Escolha um ponto em , por exemplo, para : . O vetor é:
Agora, queremos que seja perpendicular a :
Sabendo que , substituímos:
Mas isso daria um vetor nulo, o que não faz sentido. Então, vamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 6

Na verdade, para garantir que -1 -2 0 seja perpendicular a , além de ser perpendicular a , também precisamos que o vetor seja paralelo a . Isso acontece quando é na direção de .
Então, é paralelo a . Portanto, podemos escolher .

Resposta

A equação paramétrica da reta s: x = 1 - t y = 2 - 2t z = -1 que passa pelo ponto rs = 1 2 -1 + t -1 -2 0 , t in R e é perpendicular à reta é:
Ou, em forma vetorial:

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Encontre a equação da reta r.
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