Encontre a equação da reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto e uma reta definida pelas equações:
Nosso objetivo é encontrar a equação da reta que passa por e é perpendicular à reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e perpendicularidade no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta . Como está definida por duas equações lineares, podemos resolver esse sistema para obter a direção.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituindo na primeira equação:
Então, os pontos na reta podem ser representados por:
Isso nos dá o vetor direção de :
Passo 3
Para encontrar a reta dr cdot ds = 0 perpendicular a a b c e que passa por 1 cdot a + (-1) cdot b + 0 cdot c = 0 a - b = 0 a = b , precisamos que o vetor direção de , digamos , seja perpendicular a . Ou seja, o produto escalar entre eles deve ser zero:
Vamos chamar . Então:
Passo 4
Agora, precisamos garantir que a reta rs = 1 2 -1 + t a a c passe pelo ponto . Vamos escrever a equação paramétrica de :
Mas ainda precisamos determinar . Como não temos mais restrições, podemos escolher um valor para e resolver para usando outra condição de perpendicularidade, se houver.
Passo 5
Como não há mais condições, vamos escolher AP = 0 - 1 0 - 2 -1 - (-1) = -1 -2 0 para simplificar. Então, ds cdot AP = 0 (-1)a + (-2)b + 0c = 0 - a - 2b = 0 . Agora, precisamos que - a - 2a = -3a = 0 a = 0 também seja perpendicular a qualquer vetor que pertença à reta . Vamos considerar o vetor que conecta a um ponto qualquer de .
Escolha um ponto em , por exemplo, para : . O vetor é:
Agora, queremos que seja perpendicular a :
Sabendo que , substituímos:
Mas isso daria um vetor nulo, o que não faz sentido. Então, vamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 6
Na verdade, para garantir que -1 -2 0 seja perpendicular a , além de ser perpendicular a , também precisamos que o vetor seja paralelo a . Isso acontece quando é na direção de .
Então, é paralelo a . Portanto, podemos escolher .
Resposta
A equação paramétrica da reta s: x = 1 - t y = 2 - 2t z = -1 que passa pelo ponto rs = 1 2 -1 + t -1 -2 0 , t in R e é perpendicular à reta é: