Considere os pontos e
Verifique se e são colineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . A tarefa é verificar se esses pontos são colineares, ou seja, se eles estão todos na mesma reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser colinear. Três pontos são colineares se o vetor que liga um ao outro é proporcional. Em outras palavras, se os vetores e forem múltiplos um do outro, então os pontos estão na mesma reta.
Passo 3
Vamos calcular os vetores e . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e de :
Passo 4
Agora, precisamos verificar se existe um número real tal que:
Isso significa que cada componente de deve ser igual ao correspondente de multiplicado por :
Passo 5
Vamos resolver essas equações para encontrar :
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):
Passo 6
Observamos que os valores de obtidos nas equações (1) e (3) são iguais a , mas na equação (2) . Isso significa que não existe um único valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Passo 7
Como não existe um valor único de que torna proporcional a , concluímos que os vetores não são múltiplos um do outro. Portanto, os pontos , e não são colineares.