Considere os pontos A=(1,0,2), B=(2,1,1) e C=(3,1,0)
Verifique se A, B e C são colineares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . A tarefa é verificar se esses pontos são colineares, ou seja, se eles estão todos na mesma reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser colinear. Três pontos são colineares se o vetor que liga um ao outro é proporcional. Em outras palavras, se os vetores e forem múltiplos um do outro, então os pontos estão na mesma reta.

Passo 3

Vamos calcular os vetores AB = B - A = (2-1,, 1-0,, 1-2) = (1,, 1,, -1) e AC = C - A = (3-1,, 1-0,, 0-2) = (2,, 1,, -2) . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e de :

Passo 4

Agora, precisamos verificar se existe um número real AB = k cdot AC tal que:
1 = 2k (1)
Isso significa que cada componente de 1 = k (2) deve ser igual ao correspondente de -1 = -2k (3) multiplicado por :

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar 1 = 2k Rightarrow k = 12 :
Da equação (1):
1 = k Rightarrow k = 1
Da equação (2):
-1 = -2k Rightarrow k = 12
Da equação (3):

Passo 6

Observamos que os valores de obtidos nas equações (1) e (3) são iguais a , mas na equação (2) . Isso significa que não existe um único valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Passo 7

Como não existe um valor único de que torna proporcional a , concluímos que os vetores não são múltiplos um do outro. Portanto, os pontos , e não são colineares.

Resposta

Os pontos , e não são colineares.

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