Sejam A=(0,0,0), B(0,1,2), C=(1,1,0) pontos de R^3.
© Determine um vetor v, unitário, ortogonal a A B e a A C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço 3D: A = (0,0,0), B = (0,1,2) e C = (1,1,0). A tarefa aqui é encontrar um vetor v que seja unitário (ou seja, tenha tamanho 1) e que seja ortogonal tanto ao vetor AB quanto ao vetor AC. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como cálculo de vetores, produto vetorial e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os vetores AB e AC. Esses vetores vão de A para B e de A para C, respectivamente. Para encontrar um vetor entre dois pontos, subtraímos as coordenadas do ponto de partida das coordenadas do ponto de chegada.
Calculando AB:
AB = B - A = (0-0, 1-0, 2-0) = (0, 1, 2)
Calculando AC:
AC = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)

Passo 3

Agora, queremos um vetor que seja ortogonal a ambos AB e AC. Para isso, vamos usar o produto vetorial (ou produto cruzado), que nos dá um vetor perpendicular a dois vetores dados.
Vamos calcular o produto vetorial AB times AC.
Dados:
AB = (0, 1, 2) AC = (1, 1, 0)
Aplicando a fórmula do produto vetorial:
AB times AC = i & j & k 0 & 1 & 2 1 & 1 & 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o produto vetorial.
AB times AC = i(1 cdot 0 - 2 cdot 1) - j(0 cdot 0 - 2 cdot 1) + k(0 cdot 1 - 1 cdot 1)
Simplificando:
= i(0 - 2) - j(0 - 2) + k(0 - 1) = -2i + 2j -1k
Então, o vetor perpendicular é:
AB times AC = (-2, 2, -1)

Passo 5

Agora, precisamos que esse vetor seja unitário, ou seja, que tenha comprimento 1. Para isso, vamos normalizar o vetor que encontramos dividindo cada componente pelo seu módulo (ou comprimento).
Primeiro, calculamos o módulo de (-2, 2, -1):
|(-2, 2, -1)| = raiz(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3
Agora, dividimos cada componente do vetor pelo módulo para obter o vetor unitário v:
v = ( -23, 23, -13 )

Resposta

Um vetor unitário ortogonal a AB e a AC é:
v = ( -23, 23, -13 )

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