Considere o ponto A=(-3,1) e a reta r: y=4 para responder as seguintes questões.
(b) [1,0 ponto] Determine todos os elementos da cônica: Centro, vértices focais, vértices não focais, focos, eixo focal, eixo não focal, excentricidade, diretriz e assintotas se for o caso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o ponto que é o foco, e a reta que é a diretriz. O que precisamos fazer é descobrir todos os elementos dessa conica, que nesse caso é uma parábola. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria analítica, como a definição da parábola, seus elementos principais e como encontrá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o lugar geométrico de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo (o foco) e de uma reta fixa (a diretriz). Aqui, o foco é e a diretriz é .

Passo 3

Vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice é o ponto que está exatamente no meio entre o foco e a diretriz.
Para isso, calculamos a distância entre o foco e a diretriz :
A distância vertical entre e é unidades.
Então, o vértice está a metade dessa distância do foco em direção à diretriz:
unidades acima do foco.
Portanto, as coordenadas do vértice são:
(mesmo x do foco)
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a equação da parábola. Sabemos que a parábola abre para cima ou para baixo dependendo da posição do foco em relação à diretriz.
Aqui, como o foco (y - k) = 14p(x - h)^2 está abaixo da diretriz (y - 2.5) = 14 times 1.5(x + 3)^2 , a parábola abre para baixo.
A fórmula padrão da parábola que abre verticalmente é:
y - 2.5 = 16(x + 3)^2
Onde é o vértice e é a distância do vértice ao foco.
Aqui, e é (porque o vértice está 1.5 unidades acima do foco).
Então, substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 5

Vamos identificar os elementos solicitados:
  • Centro: Para parábola, geralmente falamos sobre o vértice, que já encontramos: .
  • Vértices Focais e Não Focais: Como é uma parábola, temos um vértice.
  • Foco: Já dado: .
  • Eixo Focal: É a linha que passa pelo foco e pelo vértice, neste caso, como a parábola abre verticalmente, o eixo é a reta .
  • Eixo Não Focal: Para parábola, não há realmente um eixo não focal, mas podemos considerar a linha perpendicular ao eixo focal que passa pelo vértice, que seria a horizontal .
  • Excentricidade: Para qualquer parábola, a excentricidade .
  • Diretriz: Já dada: .
  • Assíntotas: Parabolas não têm assíntotas, essas são características de hipérboles e elipses.

Passo 6

Recapitulando todos os elementos:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Eixo Focal:
  • Eixo Não Focal:
  • Excentricidade:
  • Diretriz:
  • Assíntotas: Não possui

Resposta

Os elementos da parábola são:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Eixo Focal:
  • Eixo Não Focal:
  • Excentricidade:
  • Diretriz:
  • Assíntotas: Não possui

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