Considere o ponto
e a reta
para responder as seguintes questões.
(b)
ponto] Determine todos os elementos da cônica: Centro, vértices focais, vértices não focais, focos, eixo focal, eixo não focal, excentricidade, diretriz e assintotas se for o caso.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o ponto
que é o foco, e a reta
que é a diretriz. O que precisamos fazer é descobrir todos os elementos dessa conica, que nesse caso é uma parábola. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria analítica, como a definição da parábola, seus elementos principais e como encontrá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o lugar geométrico de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo (o foco) e de uma reta fixa (a diretriz). Aqui, o foco é
e a diretriz é
.
Passo 3
Vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice é o ponto que está exatamente no meio entre o foco e a diretriz.
Para isso, calculamos a distância entre o foco
e a diretriz
:
A distância vertical entre
e
é
unidades.
Então, o vértice está a metade dessa distância do foco em direção à diretriz:
Portanto, as coordenadas do vértice
são:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a equação da parábola. Sabemos que a parábola abre para cima ou para baixo dependendo da posição do foco em relação à diretriz.
Aqui, como o foco
está abaixo da diretriz
, a parábola abre para baixo.
A fórmula padrão da parábola que abre verticalmente é:
Onde
é o vértice e
é a distância do vértice ao foco.
Aqui,
e
é
(porque o vértice está 1.5 unidades acima do foco).
Então, substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Vamos identificar os elementos solicitados:
-
Centro: Para parábola, geralmente falamos sobre o vértice, que já encontramos:
. -
Vértices Focais e Não Focais: Como é uma parábola, temos um vértice.
-
Foco: Já dado:
. -
Eixo Focal: É a linha que passa pelo foco e pelo vértice, neste caso, como a parábola abre verticalmente, o eixo é a reta
. -
Eixo Não Focal: Para parábola, não há realmente um eixo não focal, mas podemos considerar a linha perpendicular ao eixo focal que passa pelo vértice, que seria a horizontal
. -
Excentricidade: Para qualquer parábola, a excentricidade
. -
Diretriz: Já dada:
. -
Assíntotas: Parabolas não têm assíntotas, essas são características de hipérboles e elipses.
Passo 6
Recapitulando todos os elementos:
- Vértice:
- Foco:
- Eixo Focal:
- Eixo Não Focal:
- Excentricidade:
- Diretriz:
- Assíntotas: Não possui
Resposta
Os elementos da parábola são:
- Vértice:
- Foco:
- Eixo Focal:
- Eixo Não Focal:
- Excentricidade:
- Diretriz:
- Assíntotas: Não possui
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.
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e
, escreva equação reduzida da reta
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, e é paralela ao vetor
.
Sabendo-se que os pontos
e
são colineares. Determine o valor de
.
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e
e é ortogonal à reta