Sabendo-se que os pontos A=(2,1,-5), B=(1,-1,0) e C=(1, n, 0) são colineares. Determine o valor de n.

Passo 1

Beleza, a gente tem que achar o valor de pra garantir que os pontos , e estão na mesma reta, ou seja, são colineares. Vamos usar vetores e proporcionalidade pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que liga AB = B - A = (1-2, -1-1, 0 - (-5)) = (-1, -2, 5) a , que é o vetor . A gente subtrai as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor que liga AC = C - A = (1-2, n-1, 0 - (-5)) = (-1, n-1, 5) a , que é o vetor :

Passo 4

Como os pontos são colineares, os vetores e devem ser paralelos, ou seja, um é múltiplo do outro. Isso significa que as componentes correspondentes desses vetores são proporcionais.

Passo 5

Vamos igualar as razões das componentes correspondentes dos vetores:
-1-1 = -2n - 1 = 55
Simplificando, temos:
1 = -2n - 1 = 1

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação -2 = n - 1 implies n = -1 :

Resposta

O valor de é .

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