(a) Determine as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida.Onde a reta possui o ponto A(1,-2,1) e é paralela à ao vetor v=(3,1,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações de uma reta no espaço. A gente precisa encontrar as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida de uma reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Para isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de equação:
  • Equação Vetorial: Expressa a reta como um ponto inicial mais um múltiplo do vetor diretor.
  • Equações Paramétricas: Separam as coordenadas em funções de um parâmetro, geralmente .
  • Equações Simétricas: Relacionam as coordenadas de forma que o parâmetro seja eliminado.
  • Equação Reduzida: Simplifica as equações simétricas, caso possível.

Passo 3

Vamos começar pela equação vetorial. A forma geral é:
r = r0 + tv
Onde r = 1 -2 1 + t 3 1 4 é o vetor posição do ponto e é o vetor diretor.
Então, substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos para as equações paramétricas. Elas separam cada coordenada em relação ao parâmetro x = 1 + 3t y = -2 + t z = 1 + 4t :
Isso significa que, dependendo do valor de , a gente encontra pontos diferentes na reta.

Passo 5

Seguimos para as equações simétricas. Aqui, a ideia é eliminar o parâmetro t = x - 13 = y + 21 = z - 14 das equações paramétricas. Fazemos isso resolvendo cada equação paramétrica para x - 13 = y + 21 = z - 14 :
Então, a equação simétrica fica:

Passo 6

Por fim, vamos à equação reduzida. Essa forma é útil quando as equações simétricas podem ser simplificadas. No nosso caso, já está na forma mais simples possível:
x - 13 = y + 21 = z - 14

Resposta

As equações da reta são:
  • Equação Vetorial:
    r = 1 -2 1 + t 3 1 4
  • Equações Paramétricas:
    x = 1 + 3t y = -2 + t z = 1 + 4t
  • Equações Simétricas:
    x - 13 = y + 21 = z - 14
  • Equação Reduzida:
    x - 13 = y + 21 = z - 14

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