(a) Determine as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida.Onde a reta possui o ponto e é paralela à ao vetor .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações de uma reta no espaço. A gente precisa encontrar as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida de uma reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Para isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de equação:
Equação Vetorial: Expressa a reta como um ponto inicial mais um múltiplo do vetor diretor.
Equações Paramétricas: Separam as coordenadas em funções de um parâmetro, geralmente .
Equações Simétricas: Relacionam as coordenadas de forma que o parâmetro seja eliminado.
Equação Reduzida: Simplifica as equações simétricas, caso possível.
Passo 3
Vamos começar pela equação vetorial. A forma geral é:
Onde é o vetor posição do ponto e é o vetor diretor.
Então, substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos para as equações paramétricas. Elas separam cada coordenada em relação ao parâmetro x = 1 + 3t y = -2 + t z = 1 + 4t :
Isso significa que, dependendo do valor de , a gente encontra pontos diferentes na reta.
Passo 5
Seguimos para as equações simétricas. Aqui, a ideia é eliminar o parâmetro t = x - 13 = y + 21 = z - 14 das equações paramétricas. Fazemos isso resolvendo cada equação paramétrica para x - 13 = y + 21 = z - 14 :
Então, a equação simétrica fica:
Passo 6
Por fim, vamos à equação reduzida. Essa forma é útil quando as equações simétricas podem ser simplificadas. No nosso caso, já está na forma mais simples possível: