Determine a equação geral do plano pi que passa pelo baricentro do triângulo de vértices A(0,6,2), B(0,-1,2) e C(6,1,2) e é ortogonal à reta
x+52=y-42=z-32

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano chamado pi. Esse plano passa pelo baricentro (ou centroide) de um triângulo cujos vértices são A(0,6,2), B(0,-1,2) e C(6,1,2). Além disso, o plano precisa ser ortogonal (ou seja, perpendicular) a uma reta dada pela equação:
x+52 = y-42 = z-32
Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar o baricentro de um triângulo, entender o que significa um plano ser ortogonal a uma reta e usar a fórmula geral da equação de um plano. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o baricentro do triângulo. O baricentro é o ponto que é a média das coordenadas dos vértices do triângulo. Então, usamos as coordenadas dos pontos A, B e C para calcular:
G(xA + xB + xC3, yA + yB + yC3, zA + zB + zC3)
Substituindo os valores:
G(0 + 0 + 63, 6 + (-1) + 13, 2 + 2 + 23) = G(2, 2, 2)
Então, o baricentro G está no ponto (2, 2, 2).

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta dada:
x+52 = y-42 = z-32
Essa é a forma simétrica da reta. O que precisamos aqui é o vetor diretor da reta, que indica a direção em que a reta está apontando. Ele é dado pelos denominadores das frações, então o vetor diretor d é:
d = (2, 2, 2)

Passo 4

Como o plano pi precisa ser ortogonal à reta, o vetor diretor da reta será paralelo ao vetor normal do plano. Ou seja, o vetor normal n do plano é igual a d:
n = (2, 2, 2)
Agora, a equação geral de um plano é dada por:
nx (x - x0) + ny (y - y0) + nz (z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto pelo qual o plano passa (no nosso caso, o baricentro G(2, 2, 2)) e (nx, ny, nz) são as componentes do vetor normal.
Substituindo os valores:
2(x - 2) + 2(y - 2) + 2(z - 2) = 0
Simplificando:
2x - 4 + 2y - 4 + 2z - 4 = 0
2x + 2y + 2z - 12 = 0
Podemos dividir tudo por 2 para simplificar:
x + y + z - 6 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é:
x + y + z - 6 = 0

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r:ll y & =3 x-1 z & =2 x+1 e s: y & =4 x-2 z & =3 x
e contém as retas
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