Determine a equação geral do plano
que passa pelo baricentro do triângulo de vértices
e
e é ortogonal à reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano chamado
. Esse plano passa pelo baricentro (ou centroide) de um triângulo cujos vértices são
,
e
. Além disso, o plano precisa ser ortogonal (ou seja, perpendicular) a uma reta dada pela equação:
Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar o baricentro de um triângulo, entender o que significa um plano ser ortogonal a uma reta e usar a fórmula geral da equação de um plano. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o baricentro do triângulo. O baricentro é o ponto que é a média das coordenadas dos vértices do triângulo. Então, usamos as coordenadas dos pontos
,
e
para calcular:
Substituindo os valores:
Então, o baricentro
está no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a reta dada:
Essa é a forma simétrica da reta. O que precisamos aqui é o vetor diretor da reta, que indica a direção em que a reta está apontando. Ele é dado pelos denominadores das frações, então o vetor diretor
é:
Passo 4
Como o plano
precisa ser ortogonal à reta, o vetor diretor da reta será paralelo ao vetor normal do plano. Ou seja, o vetor normal
do plano é igual a
:
Agora, a equação geral de um plano é dada por:
Onde
é um ponto pelo qual o plano passa (no nosso caso, o baricentro
) e
são as componentes do vetor normal.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Podemos dividir tudo por 2 para simplificar:
Resposta
A equação geral do plano
é:
Exercícios relacionados
Sabendo-se que os pontos
e
são colineares. Determine o valor de
.
Considere o ponto
e a reta
para responder as seguintes questões.
(b) ponto] Determine todos os elementos da cônica: Centro, vértices focais, vértices não focais, focos, eixo focal, eixo não focal, excentricidade, diretriz e assintotas se for o caso.
(b)
Dertimine a equação geral do plano
, passa pelo ponto de interserção das retas
e
, isto é,
, onde
e contém as retas
Seja
. Faça o que se pede:
a) Mostre que
e
é um subespaço de
.
a) Mostre que