Considere o ponto A=(-3,1) e a reta r: y=4 para responder as seguintes questões.
© [1,0 ponto ] Num sistema de eixos coordenados faça o esboço da cônica indicando todos os seus elementos.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos um ponto que vai ser o foco da nossa parábola, e uma reta que será a diretora. Nosso objetivo é fazer um esboço dessa parábola no sistema de coordenadas e indicar todos os seus elementos. Para isso, vamos precisar entender o que é uma parábola e quais são seus componentes principais, como foco, diretora, vértice e eixo de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão equidistantes do foco e da diretora. Isso significa que qualquer ponto na parábola terá a mesma distância até o ponto e à reta .

Passo 3

Vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice está exatamente no meio entre o foco e a diretora. A distância vertical entre o foco (que está em ) e a diretora é unidades. Então, o vértice estará a unidades acima do foco, ou seja, na coordenada . Como a diretora é horizontal e o foco está no ponto , o vértice também terá a coordenada . Então, o vértice é .

Passo 4

Agora, vamos determinar o eixo de simetria da parábola. Como a diretora é horizontal ( ) e o foco está abaixo dela, a parábola irá “abrir” para baixo. O eixo de simetria será uma linha vertical que passa pelo foco e pelo vértice, ou seja, a reta .

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar a parábola:
  • Foco:
  • Diretora:
  • Vértice:
  • Eixo de simetria:
  • Abertura: Para baixo
No desenho, a parábola será simétrica em relação à reta , passando pelo vértice e se aproximando da diretora conforme se afasta do vértice.

Resposta

O esboço da parábola no sistema de coordenadas tem o foco em , a diretora na reta , o vértice em , o eixo de simetria na reta e a abertura direcionada para baixo, formando uma parábola simétrica em relação a .

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