Considere o ponto
e a reta
para responder as seguintes questões.
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ponto
Num sistema de eixos coordenados faça o esboço da cônica indicando todos os seus elementos.
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Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos um ponto
que vai ser o foco da nossa parábola, e uma reta
que será a diretora. Nosso objetivo é fazer um esboço dessa parábola no sistema de coordenadas e indicar todos os seus elementos. Para isso, vamos precisar entender o que é uma parábola e quais são seus componentes principais, como foco, diretora, vértice e eixo de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão equidistantes do foco e da diretora. Isso significa que qualquer ponto na parábola terá a mesma distância até o ponto
e à reta
.
Passo 3
Vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice está exatamente no meio entre o foco e a diretora. A distância vertical entre o foco
(que está em
) e a diretora
é
unidades. Então, o vértice estará a
unidades acima do foco, ou seja, na coordenada
. Como a diretora é horizontal e o foco está no ponto
, o vértice também terá a coordenada
. Então, o vértice é
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o eixo de simetria da parábola. Como a diretora é horizontal (
) e o foco está abaixo dela, a parábola irá “abrir” para baixo. O eixo de simetria será uma linha vertical que passa pelo foco e pelo vértice, ou seja, a reta
.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar a parábola:
- Foco:
- Diretora:
- Vértice:
- Eixo de simetria:
- Abertura: Para baixo
No desenho, a parábola será simétrica em relação à reta
, passando pelo vértice
e se aproximando da diretora
conforme se afasta do vértice.
Resposta
O esboço da parábola no sistema de coordenadas tem o foco em
, a diretora na reta
, o vértice em
, o eixo de simetria na reta
e a abertura direcionada para baixo, formando uma parábola simétrica em relação a
.
Exercícios relacionados
Seja
. Faça o que se pede:
a) Mostre que
e
é um subespaço de
.
a) Mostre que
Dertimine a equação geral do plano
, passa pelo ponto de interserção das retas
e
, isto é,
, onde
e contém as retas
Determine a equação geral do plano
que passa pelo ponto da reta
e é ortogonal lado
do triângulo equilatero
sendo
e sabendo-se que o lado
está contido na reta
. (Dica: Obtenha os os vertices
e
do
e use
e
.
Os pontos de trisseção do segmento
e
são
e
. Unindo-os ao ponto
, obtêm-se as retas
e
. Calcule o ângulo formado pelas mesmas.