Determine a equação geral do plano
que passa pelo ponto da reta
e é ortogonal lado
do triângulo equilatero
sendo
e sabendo-se que o lado
está contido na reta
. (Dica: Obtenha os os vertices
e
do
e use
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação geral de um plano
que passa por um ponto da reta
definida por
. Além disso, esse plano precisa ser ortogonal ao lado
de um triângulo equilátero
, onde
e o lado
está na reta
dada por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores, equações de retas e planos, e propriedades de triângulos equiláteros.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos
e
do triângulo
. Sabemos que o lado
está na reta
. Isso significa que
e
são pontos dessa reta para valores diferentes de
.
Vamos escolher dois valores para
para determinar
e
:
-
Para
: -
Para
:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se o triângulo
é realmente equilátero com esses pontos. Para isso, calculamos as distâncias entre os pontos:
-
Distância
: -
Distância
: -
Distância
:
Vemos que
, mas
. Como nem todas as distâncias são iguais, o triângulo não é equilátero. Precisamos ajustar a posição de
na reta
para garantir que todas as arestas tenham o mesmo comprimento.
Passo 4
Para que
seja equilátero, precisamos que
. Vamos recalcular o ponto
na reta
de forma que
, igual a
.
Expressando
como ponto na reta
:
Calculamos
:
Calculando a distância
:
Queremos que
:
Descartamos
porque resultaria em
. Assim, escolhemos
:
Passo 5
Com os pontos corrigidos:
Calculamos novamente as distâncias:
-
Distância
: -
Distância
: -
Distância
:
Agora, todas as arestas têm o mesmo comprimento
, confirmando que o triângulo é equilátero.
Passo 6
Agora, vamos determinar a equação do plano
que é ortogonal ao lado
e passa por um ponto da reta
.
Primeiro, identificamos o vetor
:
Esse vetor será o vetor normal
do plano
, já que o plano é ortogonal a
.
Passo 7
Agora, precisamos de um ponto que esteja no plano
. Sabemos que o plano passa por um ponto da reta
. Podemos escolher, por exemplo, o ponto correspondente a
na reta
:
Passo 8
A equação geral de um plano com vetor normal
e que passa por um ponto
é dada por:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Resposta
A equação geral do plano
é:
Exercícios relacionados
Considere o ponto
e a reta
para responder as seguintes questões.
© ponto
Num sistema de eixos coordenados faça o esboço da cônica indicando todos os seus elementos.
©
Seja
. Faça o que se pede:
a) Mostre que
e
é um subespaço de
.
a) Mostre que
Os pontos de trisseção do segmento
e
são
e
. Unindo-os ao ponto
, obtêm-se as retas
e
. Calcule o ângulo formado pelas mesmas.
Dados os Subespaços,
de
c) uma base e dimensão de