Determine a equação geral do plano pi que passa pelo ponto da reta
s:(x, y, z)=(1,1,0)+t(1,1,-1)
e é ortogonal lado B C do triângulo equilatero triang<= A B C sendo A(1,1,0) e sabendo-se que o lado B C está contido na reta r:(x, y, z)=(0,0,0)+t(0,1,-1). (Dica: Obtenha os os vertices B e C do triang<= A B C e use cos theta=midlang<=u, v||mid u||v| e cos 60=12).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação geral de um plano pi que passa por um ponto da reta s definida por (x, y, z) = (1,1,0) + t(1,1,-1). Além disso, esse plano precisa ser ortogonal ao lado BC de um triângulo equilátero triang<= ABC, onde A(1,1,0) e o lado BC está na reta r dada por (x, y, z) = (0,0,0) + t(0,1,-1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores, equações de retas e planos, e propriedades de triângulos equiláteros.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos B e C do triângulo triang<= ABC. Sabemos que o lado BC está na reta r: (x, y, z) = (0,0,0) + t(0,1,-1). Isso significa que B e C são pontos dessa reta para valores diferentes de t.
Vamos escolher dois valores para t para determinar B e C:
  • Para t = 1:
    B(0, 1, -1)
  • Para t = 2:
    C(0, 2, -2)

Passo 3

Agora, precisamos verificar se o triângulo triang<= ABC é realmente equilátero com esses pontos. Para isso, calculamos as distâncias entre os pontos:
  1. Distância AB:
    AB = B - A = (0-1, 1-1, -1-0) = (-1, 0, -1) | AB | = raiz(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
  2. Distância AC:
    AC = C - A = (0-1, 2-1, -2-0) = (-1, 1, -2) | AC | = raiz(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
  3. Distância BC:
    BC = C - B = (0-0, 2-1, -2 - (-1)) = (0, 1, -1) | BC | = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
Vemos que |AB| = |BC| = raiz2, mas |AC| = raiz6. Como nem todas as distâncias são iguais, o triângulo não é equilátero. Precisamos ajustar a posição de C na reta r para garantir que todas as arestas tenham o mesmo comprimento.

Passo 4

Para que triang<= ABC seja equilátero, precisamos que |AB| = |BC| = |AC|. Vamos recalcular o ponto C na reta r de forma que |AC| = raiz2, igual a |AB|.
Expressando C como ponto na reta r:
C(0, t, -t)
Calculamos AC:
AC = C - A = (0-1, t-1, -t-0) = (-1, t-1, -t)
Calculando a distância |AC|:
| AC | = raiz(-1)^2 + (t-1)^2 + (-t)^2 = raiz1 + t^2 - 2t + 1 + t^2 = raiz2t^2 - 2t + 2
Queremos que |AC| = raiz2:
raiz2t^2 - 2t + 2 = raiz2 Rightarrow 2t^2 - 2t + 2 = 2 Rightarrow 2t^2 - 2t = 0 Rightarrow 2t(t - 1) = 0 Rightarrow t = 0 ou t = 1
Descartamos t = 1 porque resultaria em C = B. Assim, escolhemos t = 0:
C(0, 0, 0)

Passo 5

Com os pontos corrigidos:
A(1,1,0), B(0,1,-1), C(0,0,0)
Calculamos novamente as distâncias:
  1. Distância AB:
    |AB| = raiz(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
  2. Distância AC:
    |AC| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
  3. Distância BC:
    |BC| = raiz0^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
Agora, todas as arestas têm o mesmo comprimento raiz2, confirmando que o triângulo é equilátero.

Passo 6

Agora, vamos determinar a equação do plano pi que é ortogonal ao lado BC e passa por um ponto da reta s.
Primeiro, identificamos o vetor BC:
BC = C - B = (0-0, 0-1, 0 - (-1)) = (0, -1, 1)
Esse vetor será o vetor normal n do plano pi, já que o plano é ortogonal a BC.

Passo 7

Agora, precisamos de um ponto que esteja no plano pi. Sabemos que o plano passa por um ponto da reta s. Podemos escolher, por exemplo, o ponto correspondente a t = 0 na reta s:
P(1,1,0) (mesmo ponto A)

Passo 8

A equação geral de um plano com vetor normal n = (a, b, c) e que passa por um ponto P(x0, y0, z0) é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Substituindo n = (0, -1, 1) e P(1,1,0):
0(x - 1) -1(y - 1) +1(z - 0) = 0 - (y - 1) + z = 0
Simplificando:
z - y + 1 = 0 Rightarrow y - z -1 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é:
y - z - 1 = 0

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