Seja V=M2 times 2(R). Faça o que se pede:
a) Mostre que S1=(lla & b c & d) in V ; a- b=0 e c+d=O é um subespaço de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto , formado por todas as matrizes com certas condições e , é um subespaço do espaço . Basicamente, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se cumpre os requisitos para ser considerado assim.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se a matriz zero está em 0 & 0 0 & 0 :
A matriz zero em é:
Vamos ver se ela satisfaz as condições de :
Então, a matriz zero está em .

Passo 4

2. Verificando se A = a & b c & d , B = a' & b' c' & d' é fechado sob adição:
Sejam duas matrizes quaisquer A + B = a + a' & b + b' c + c' & d + d' e em :
Como e estão em , temos:
  • e
  • e
Vamos somar e :
Vamos verificar as condições para :
Portanto, também está em .

Passo 5

3. Verificando se A = a & b c & d , onde a - b = 0 e c + d = 0 é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja uma matriz kA = ka & kb kc & kd em e um escalar qualquer. Então:
Multiplicando por :
Vamos verificar as condições para :
Assim, também está em .

Resposta

Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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