Seja
. Faça o que se pede:
a) Mostre que
e
é um subespaço de
.
a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto
, formado por todas as matrizes
com certas condições
e
, é um subespaço do espaço
. Basicamente, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se
cumpre os requisitos para ser considerado assim.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de um espaço vetorial
deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: A matriz zero
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se a matriz zero está em
:
A matriz zero em
é:
Vamos ver se ela satisfaz as condições de
:
-
✅ -
✅
Então, a matriz zero está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Sejam duas matrizes quaisquer
e
em
:
Como
e
estão em
, temos:
-
e -
e
Vamos somar
e
:
Vamos verificar as condições para
:
-
✅ -
✅
Portanto,
também está em
.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja uma matriz
em
e
um escalar qualquer. Então:
Multiplicando
por
:
Vamos verificar as condições para
:
-
✅ -
✅
Assim,
também está em
.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Dertimine a equação geral do plano
, passa pelo ponto de interserção das retas
e
, isto é,
, onde
e contém as retas
Determine a equação geral do plano
que passa pelo baricentro do triângulo de vértices
e
e é ortogonal à reta
Considere o ponto
e a reta
para responder as seguintes questões.
© ponto
Num sistema de eixos coordenados faça o esboço da cônica indicando todos os seus elementos.
©
Determine a equação geral do plano
que passa pelo ponto da reta
e é ortogonal lado
do triângulo equilatero
sendo
e sabendo-se que o lado
está contido na reta
. (Dica: Obtenha os os vertices
e
do
e use
e
.