Dertimine a equação geral do plano pi, passa pelo ponto de interserção das retas r e s, isto é, r cap s=I, onde
r:ll y & =3 x-1 z & =2 x+1 e s: y & =4 x-2 z & =3 x
e contém as retas
r1: x-62=y-112=z+12 e s1: x-12=y+32=z-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação geral de um plano, chamado pi, que passa pelo ponto de interseção das retas r e s e que também contém as retas r1 e s1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como interseção de retas e equação de um plano. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção I das retas r e s. As retas estão dadas por:
r: y = 3x - 1 z = 2x + 1 s: y = 4x - 2 z = 3x
Para achar I, precisamos encontrar um valor de x que satisfaça ambas as equações de y e z.

Passo 3

Vamos igualar as expressões de y das retas r e s:
3x - 1 = 4x - 2
Resolvendo para x:
3x - 4x = -2 + 1 - x = -1 x = 1

Passo 4

Agora que temos x = 1, vamos encontrar y e z substituindo esse valor nas equações de r:
y = 3(1) - 1 = 2 z = 2(1) + 1 = 3
Portanto, o ponto de interseção I é (1, 2, 3).

Passo 5

Sabemos que o plano pi passa pelo ponto I e contém as retas r1 e s1. Vamos encontrar duas direções no plano pi usando as direções dessas retas.
As retas r1 e s1 são dadas por:
r1: x-62 = y-112 = z+12 s1: x-12 = y+32 = z-1
As direções dessas retas são os vetores:
v1 = (2, 12, 2) v2 = (2, 2, -1)

Passo 6

Para determinar a equação do plano, precisamos de um ponto no plano (já temos I) e de um vetor normal ao plano. O vetor normal pode ser encontrado tirando o produto vetorial das direções das retas r1 e s1.
Calculando o produto vetorial v1 times v2:
n = i & j & k 2 & 12 & 2 2 & 2 & -1 = i(12 cdot (-1) - 2 cdot 2) - j(2 cdot (-1) - 2 cdot 2) + k(2 cdot 2 - 12 cdot 2)
n = i(-12 - 4) - j(-2 - 4) + k(4 - 24) n = (-16)i + 6j - 20k n = (-16, 6, -20)
Podemos simplificar dividindo por 2:
n = (-8, 3, -10)

Passo 7

Agora que temos o vetor normal n = (-8, 3, -10) e o ponto I(1, 2, 3), podemos usar a fórmula da equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto no plano.
Substituindo:
-8(x - 1) + 3(y - 2) - 10(z - 3) = 0

Passo 8

Vamos simplificar a equação:
-8x + 8 + 3y - 6 - 10z + 30 = 0 -8x + 3y - 10z + 32 = 0
Multiplicando por -1 para deixar os coeficientes positivos:
8x - 3y + 10z - 32 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é:
8x - 3y + 10z - 32 = 0

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