Dertimine a equação geral do plano , passa pelo ponto de interserção das retas e , isto é, , onde
e contém as retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação geral de um plano, chamado , que passa pelo ponto de interseção das retas e e que também contém as retas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como interseção de retas e equação de um plano. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e . As retas estão dadas por:
Para achar , precisamos encontrar um valor de que satisfaça ambas as equações de e .
Passo 3
Vamos igualar as expressões de das retas e :
Resolvendo para :
Passo 4
Agora que temos , vamos encontrar e substituindo esse valor nas equações de :
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 5
Sabemos que o plano passa pelo ponto e contém as retas e . Vamos encontrar duas direções no plano usando as direções dessas retas.
As retas e são dadas por:
As direções dessas retas são os vetores:
Passo 6
Para determinar a equação do plano, precisamos de um ponto no plano (já temos ) e de um vetor normal ao plano. O vetor normal pode ser encontrado tirando o produto vetorial das direções das retas e .
Calculando o produto vetorial :
n = i(-12 - 4) - j(-2 - 4) + k(4 - 24) n = (-16)i + 6j - 20k n = (-16, 6, -20)
Podemos simplificar dividindo por 2:
n = (-8, 3, -10)
Passo 7
Agora que temos o vetor normal n = (-8, 3, -10) e o ponto I(1, 2, 3), podemos usar a fórmula da equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto no plano.