Os pontos de trisseção do segmento A(4,3,0) e B(-2,-3,3) são M e N. Unindo-os ao ponto P(0,-1,0), obtêm-se as retas P M e P N. Calcule o ângulo formado pelas mesmas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um segmento de reta entre os pontos e . Os pontos e são os pontos de trisseção deste segmento, ou seja, eles dividem o segmento em três partes iguais. O objetivo é encontrar o ângulo entre as retas e , onde é o ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como determinação de pontos de trisseção, vetores e cálculo de ângulos entre vetores.

Passo 2

Vamos encontrar as coordenadas dos pontos de trisseção Q = ( kxB + xAk + 1, kyB + yAk + 1, kzB + zAk + 1 ) e M = ( 1 cdot (-2) + 41 + 1, 1 cdot (-3) + 31 + 1, 1 cdot 3 + 01 + 1 ) = (1, 0, 1.5) . Para dividir o segmento N = ( 2 cdot (-2) + 42 + 1, 2 cdot (-3) + 32 + 1, 2 cdot 3 + 02 + 1 ) = (03, -33, 63) = (0, -1, 2) em três partes iguais, usamos a fórmula do ponto que divide um segmento internamente na razão (para ) e (para ).
A fórmula para encontrar um ponto que divide o segmento na razão é:
Para ( ):
Para ( ):

Passo 3

Agora que temos as coordenadas de PM = M - P = (1 - 0, 0 - (-1), 1.5 - 0) = (1, 1, 1.5) e PN = N - P = (0 - 0, -1 - (-1), 2 - 0) = (0, 0, 2) , vamos determinar os vetores das retas e .
O vetor é dado por:
O vetor é dado por:

Passo 4

Para encontrar o ângulo cos(theta) = PM cdot PN|PM| cdot |PN| entre as retas PM cdot PN = (1)(0) + (1)(0) + (1.5)(2) = 0 + 0 + 3 = 3 e |PM| = raiz1^2 + 1^2 + 1.5^2 = raiz1 + 1 + 2.25 = raiz4.25 approx 2.0616 , usamos a fórmula do ângulo entre dois vetores:
|PN| = raiz0^2 + 0^2 + 2^2 = raiz0 + 0 + 4 = 2
onde é o produto escalar e e são as magnitudes dos vetores.
Calculando o produto escalar:
Calculando as magnitudes:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do ângulo:
cos(theta) = 32.0616 times 2 approx 34.1232 approx 0.727
Para encontrar o ângulo theta = arccos(0.727) approx 43.0^circ , usamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo formado pelas retas e é aproximadamente .

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