Considere o ponto A=(1,2,3) e o vetor V=3 V1+4 V2+5 V3 (com ponto inicial na origem do sistema). Determine o ponto B de R^3 tal que o vetor A B=V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um ponto e um vetor que começa na origem. A gente precisa encontrar o ponto tal que o vetor de para , ou seja, , seja igual a .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional ( ) e operações com vetores. Vamos precisar entender como somar vetores e pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor no espaço pode ser representado coordenadamente. O vetor pode ser escrito como .

Passo 3

Sabemos que o vetor AB = B - A representa o deslocamento do ponto para o ponto . Em termos de coordenadas, isso significa:
Onde e .

Passo 4

Queremos que B - A = V . Então, substituindo as coordenadas:
(x - 1, y - 2, z - 3) = (3, 4, 5)

Passo 5

Agora, igualamos as coordenadas correspondentes dos vetores:
x - 1 = 3 y - 2 = 4 z - 3 = 5

Passo 6

Resolvendo cada uma dessas equações para encontrar x = 3 + 1 = 4 y = 4 + 2 = 6 z = 5 + 3 = 8 , e :

Resposta

O ponto é .

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Mostre que o conjunto W=(x, y) in R^2: a x+b y=0 é um subspaço vetorial do R^2. Observe que W é uma reta que passa pela origem (passar pela origem significa 0 in W). Na verdade, os subespaços do R^2 são precisamente W=0, W=R^2 e as retas que passam pela origem. Descreva todos os subespaços do R^3.
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