Considere o ponto e os vetores e . Determine os pontos e , sabendo que e são coplanares e pertence à reta paralela ao eixo que passa pelo ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá o ponto e dois vetores e . A gente precisa encontrar os pontos , e . Sabemos que os pontos e estão no mesmo plano (são coplanares) e que está numa reta paralela ao eixo que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria espacial.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o ponto . Sabemos que o vetor . Para encontrar , somamos as coordenadas de com as de :
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto . Temos o vetor . Da mesma forma, somamos as coordenadas de com as de :
Passo 4
Com os pontos , e definidos, vamos achar . Como está no mesmo plano, podemos expressá-lo como uma combinação linear dos vetores e a partir de :
Onde e são escalares que precisamos determinar.
Passo 5
Além disso, sabemos que está numa reta paralela ao eixo que passa por . Uma reta paralela ao tem a forma:
éâ
Então, igualamos as duas expressões para :
Vamos substituir , e :
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Substituindo na equação (1):
Agora, substituímos e na segunda equação para achar :