Considere o ponto A=(1,0,1) e os vetores u=A B=(2,4,1) e v=A C=(-1,5,2). Determine os pontos B, C e D, sabendo que A, B, C e D são coplanares e D pertence à reta paralela ao eixo O Y que passa pelo ponto P=(3,2,7).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá o ponto e dois vetores e . A gente precisa encontrar os pontos , e . Sabemos que os pontos e estão no mesmo plano (são coplanares) e que está numa reta paralela ao eixo que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria espacial.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto B = A + u = (1 + 2, , 0 + 4, , 1 + 1) = (3, 4, 2) . Sabemos que o vetor . Para encontrar , somamos as coordenadas de com as de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto C = A + v = (1 - 1, , 0 + 5, , 1 + 2) = (0, 5, 3) . Temos o vetor . Da mesma forma, somamos as coordenadas de com as de :

Passo 4

Com os pontos D = A + su + tv , e definidos, vamos achar . Como está no mesmo plano, podemos expressá-lo como uma combinação linear dos vetores e a partir de :
Onde e são escalares que precisamos determinar.

Passo 5

Além disso, sabemos que (x, y, z) = (3, 2 + k, 7) onde k é um parâmetro real está numa reta paralela ao eixo A + su + tv = (3, 2 + k, 7) que passa por (1 + 2s - t, , 0 + 4s + 5t, , 1 + s + 2t) = (3, 2 + k, 7) . Uma reta paralela ao 1 + 2s - t = 3 4s + 5t = 2 + k 1 + s + 2t = 7 tem a forma:
2s - t = 2 Rightarrow t = 2s - 2 (1) éâ
Então, igualamos as duas expressões para s + 2t = 6 Rightarrow s + 2(2s - 2) = 6 Rightarrow s + 4s - 4 = 6 Rightarrow 5s = 10 Rightarrow s = 2 :
t = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2
Vamos substituir 4(2) + 5(2) = 2 + k Rightarrow 8 + 10 = 2 + k Rightarrow 18 = 2 + k Rightarrow k = 16 , e :
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Substituindo na equação (1):
Agora, substituímos e na segunda equação para achar :

Resposta

Os pontos são:
B = (3, 4, 2), C = (0, 5, 3) e D = (3, 18, 7)

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