Seja o operador linear T: R^3 longrightarrow R^3 definido pela matriz:
[ccc 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & -1 ]
Determinar a lei que define o operador T^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um operador linear que mapeia vetores de para usando uma matriz específica. Nosso objetivo é encontrar a lei que define o operador inverso . Para isso, vamos precisar entender como inverter matrizes, já que o inverso de um operador linear é diretamente relacionado ao inverso da sua matriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz dada é invertível. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
A matriz de T = 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & -1 é:

Passo 3

Vamos calcular o determinante de det(T) = 1 cdot -1 & 1 0 & -1 - 0 cdot 2 & 1 0 & -1 + 1 cdot 2 & -1 0 & 0 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores para facilitar:
-1 & 1 0 & -1 = (-1)(-1) - (1)(0) = 1
Calculando os menores:
2 & -1 0 & 0 = (2)(0) - (-1)(0) = 0
det(T) = 1 cdot 1 - 0 cdot (qualquer coisa) + 1 cdot 0 = 1
Então:
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que a matriz é invertível, vamos encontrar T^-1 = 1det(T) cdot adj(T) . Uma maneira de fazer isso é usando a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3:
T^-1 = adj(T)
Onde é a matriz adjunta de . Já que , simplificamos para:

Passo 5

Para encontrar a adjunta C11 = (-1)^1+1 cdot -1 & 1 0 & -1 = 1 cdot (1) = 1 , precisamos calcular a matriz dos cofatores de C12 = (-1)^1+2 cdot 2 & 1 0 & -1 = -1 cdot (-2) = 2 e depois transpor essa matriz.
Vamos calcular os cofatores de cada elemento da matriz C13 = (-1)^1+3 cdot 2 & -1 0 & 0 = 1 cdot (0) = 0 :
Cofator C21 = (-1)^2+1 cdot 0 & 1 0 & -1 = -1 cdot (0) = 0 :
C22 = (-1)^2+2 cdot 1 & 1 0 & -1 = 1 cdot (-1) = -1
Cofator C23 = (-1)^2+3 cdot 1 & 0 0 & 0 = -1 cdot (0) = 0 :
C31 = (-1)^3+1 cdot 0 & 1 -1 & 1 = 1 cdot (0 + 1) = 1
Cofator C32 = (-1)^3+2 cdot 1 & 1 2 & 1 = -1 cdot (-1) = 1 :
C33 = (-1)^3+3 cdot 1 & 0 2 & -1 = 1 cdot (-1) = -1
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :

Passo 6

Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Cof(T) = 1 & 2 & 0 0 & -1 & 0 1 & 1 & -1
Em seguida, transpondo essa matriz para obter a adjunta:
adj(T) = 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & -1

Passo 7

Finalmente, como T^-1 = 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & -1 , temos que:

Resposta

A lei que define o operador inverso T^-1 = 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & -1 é dada pela matriz:

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