Seja o operador linear definido pela matriz:
Determinar a lei que define o operador .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um operador linear que mapeia vetores de para usando uma matriz específica. Nosso objetivo é encontrar a lei que define o operador inverso . Para isso, vamos precisar entender como inverter matrizes, já que o inverso de um operador linear é diretamente relacionado ao inverso da sua matriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz dada é invertível. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
A matriz de é:

Passo 3

Vamos calcular o determinante de . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores para facilitar:
Calculando os menores:
Então:
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que a matriz é invertível, vamos encontrar . Uma maneira de fazer isso é usando a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3:
Onde é a matriz adjunta de . Já que , simplificamos para:

Passo 5

Para encontrar a adjunta , precisamos calcular a matriz dos cofatores de e depois transpor essa matriz.
Vamos calcular os cofatores de cada elemento da matriz :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :

Passo 6

Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Em seguida, transpondo essa matriz para obter a adjunta:

Passo 7

Finalmente, como , temos que:

Resposta

A lei que define o operador inverso é dada pela matriz:

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(a) Determine o ponto tal que .
(b) Os pontos e são colineares? Justifique.
© Obtenha o ponto tal que .
(d) Os pontos e são colineares? Justifique.
Verifique que o ponto é equidistante dos pontos e . Determine a equação que as coordenadas de um ponto equidistante dos pontos e devem satisfazer.
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Mostre que os vetores , e são linearmente independentes (l.i) e escreva o vetor como combinação linear destes vetores, onde:
(a) ;
(b) .