Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um operador linear que mapeia vetores de para usando uma matriz específica. Nosso objetivo é encontrar a lei que define o operador inverso . Para isso, vamos precisar entender como inverter matrizes, já que o inverso de um operador linear é diretamente relacionado ao inverso da sua matriz.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz dada é invertível. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
A matriz de é:
Passo 3
Vamos calcular o determinante de . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores para facilitar:
Calculando os menores:
Então:
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que a matriz é invertível, vamos encontrar . Uma maneira de fazer isso é usando a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3:
Onde é a matriz adjunta de . Já que , simplificamos para:
Passo 5
Para encontrar a adjunta , precisamos calcular a matriz dos cofatores de e depois transpor essa matriz.
Vamos calcular os cofatores de cada elemento da matriz :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Passo 6
Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Em seguida, transpondo essa matriz para obter a adjunta:
Passo 7
Finalmente, como , temos que:
Resposta
A lei que define o operador inverso é dada pela matriz: