Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um operador linear que mapeia vetores de para usando uma matriz específica. Nosso objetivo é encontrar a lei que define o operador inverso . Para isso, vamos precisar entender como inverter matrizes, já que o inverso de um operador linear é diretamente relacionado ao inverso da sua matriz.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz dada é invertível. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
A matriz de T = 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & -1 é:
Passo 3
Vamos calcular o determinante de det(T) = 1 cdot -1 & 1 0 & -1 - 0 cdot 2 & 1 0 & -1 + 1 cdot 2 & -1 0 & 0 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores para facilitar:
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que a matriz é invertível, vamos encontrar T^-1 = 1det(T) cdot adj(T) . Uma maneira de fazer isso é usando a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3:
T^-1 = adj(T)
Onde é a matriz adjunta de . Já que , simplificamos para:
Passo 5
Para encontrar a adjunta C11 = (-1)^1+1 cdot -1 & 1 0 & -1 = 1 cdot (1) = 1 , precisamos calcular a matriz dos cofatores de C12 = (-1)^1+2 cdot 2 & 1 0 & -1 = -1 cdot (-2) = 2 e depois transpor essa matriz.
Vamos calcular os cofatores de cada elemento da matriz C13 = (-1)^1+3 cdot 2 & -1 0 & 0 = 1 cdot (0) = 0 :