Sejam A=(-2,3,1), B=(2,1,1), C=(0,0,-3), D=(10,-3,1), E=(-1,2,3) e F=(1,1,0) pontos do espaço.
(a) Determine o ponto G tal que A C=D G.
(b) Os pontos E, F e G são colineares? Justifique.
© Obtenha o ponto H tal que A B=H D.
(d) Os pontos A, B e H são colineares? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar com a parte (a) do exercício. A questão pede para determinar o ponto AC = C - A = (0 - (-2), 0 - 3, -3 - 1) = (2, -3, -4) tal que DG = G - D = (x - 10, y - (-3), z - 1) = (x - 10, y + 3, z - 1) .
Conteúdo da matéria: Aqui estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar vetores usando as coordenadas dos pontos e como resolver equações vetoriais para encontrar coordenadas de um ponto desconhecido.
Resumo do enunciado: Temos os pontos x - 10 = 2 y + 3 = -3 z - 1 = -4 , , e queremos achar tal que o vetor de para seja igual ao vetor de para .
Começando a resolver:
Primeiro, vamos encontrar o vetor . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
A equação significa que o vetor de para também deve ser .
Agora, expressamos em termos das coordenadas de e :
Igualando os componentes dos vetores:
Resolvendo cada equação:

Passo 2

Passando para a parte (b), precisamos verificar se os pontos EF = F - E = (1 - (-1), 1 - 2, 0 - 3) = (2, -1, -3) , EG = G - E = (12 - (-1), -6 - 2, -3 - 3) = (13, -8, -6) e EG = k cdot EF são colineares.
Conteúdo da matéria: Para determinar se três pontos são colineares, podemos verificar se os vetores formados por esses pontos são múltiplos uns dos outros, ou seja, se os vetores 13 = 2k -8 = -1k -6 = -3k e são colineares.
Resumo do enunciado: Verificar a colinearidade dos pontos , e usando os vetores entre eles.
Vamos resolver:
Primeiro, encontramos os vetores e :
Agora, verificamos se é múltiplo de . Ou seja, existe um escalar tal que:
Isso implica:
Resolvendo:
Da segunda equação,
Verificando com a primeira equação: → Não é verdadeiro.
Como não existe um único que satisfaça todas as equações, os vetores e não são colineares.
Portanto, os pontos , e não são colineares.

Passo 3

Agora, vamos para a parte © do exercício. Precisamos encontrar o ponto AB = B - A = (2 - (-2), 1 - 3, 1 - 1) = (4, -2, 0) tal que HD = D - H = (10 - x, -3 - y, 1 - z) .
Conteúdo da matéria: Similar à parte (a), trabalharemos com vetores no espaço tridimensional e resolveremos uma equação vetorial para encontrar as coordenadas do ponto desconhecido.
Resumo do enunciado: Dado 10 - x = 4 -3 - y = -2 1 - z = 0 , , , queremos achar tal que o vetor de para seja igual ao vetor de para .
Vamos resolver:
Primeiro, encontramos o vetor :
A equação significa que:
Igualando os componentes dos vetores:
Resolvendo cada equação:
Portanto, o ponto é .

Passo 4

Finalmente, vamos resolver a parte (d), onde devemos verificar se os pontos AB = B - A = (2 - (-2), 1 - 3, 1 - 1) = (4, -2, 0) , AH = H - A = (6 - (-2), -1 - 3, 1 - 1) = (8, -4, 0) e AH = k cdot AB são colineares.
Conteúdo da matéria: Novamente, usaremos a condição de colinearidade. Vamos verificar se os vetores 8 = 4k -4 = -2k 0 = 0k e são múltiplos entre si.
Resumo do enunciado: Determinar se os pontos , e estão alinhados, isto é, se formam uma linha reta.
Vamos resolver:
Primeiro, encontramos os vetores e :
Agora, verificamos se é múltiplo de . Procuramos um escalar tal que:
Isso implica:
Resolvendo:
Da primeira equação,
Verificando com a segunda equação: → Correto.
A terceira equação é trivialmente satisfeita.
Como existe um único que satisfaz todas as equações, os vetores e são colineares.
Portanto, os pontos , e são colineares.

Resposta

(a) O ponto é .
(b) Os pontos , e não são colineares.
© O ponto é .
(d) Os pontos , e são colineares.

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